CLASE # 6-7 POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN
cobolaSíntesis14 de Mayo de 2021
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CLASE # 6-7
POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN
Objetivo:
- Definir el concepto de polinomio
- Definir las operaciones básicas con polinomios
- Definir los productos notables principales
- Factorizar algunas expresiones algebraicas (polinomios) en los diferentes conjuntos numéricos utilizando las identidades que llamamos especiales.
Polinomios: Una expresión de la forma anxn + an-1xn-1 + anxn + ….+ a1x + a0 se llama polinomio de grado n en x , donde n es un entero no negativo (es 0 o es +) y an ≠ 0.
Los números an, an-1, … a1, a0 se llaman coeficientes del polinomio, x la variable, an coeficiente principal.
Ejm: 2x3 - 4x + x5 es un polinomio de grado 5
x1/3 + 2x - 2 no es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario
x-4 + x5 + x 3 - x no es un polinomio porque tiene un exponente negativo
5 es un polinomio porque se puede escribir como 5x0 ; es un polinomio de grado 0.
Los polinomios dependiendo del grado reciben diferentes nombres:
- El polinomio de grado 0 se llama polinomio constante.
- El polinomio de grado 1 se llama polinomio lineal.
- El polinomio de grado 2 se llama polinomio cuadrático.
- El polinomio de grado 3 se llama polinomio cúbico. etc
Los polinomios se denotan con las letras f(x), g(x), h(x),…., p(x), q(x), r(x), .. etc.
El grado de f(x) se denota por: grad f(x).
Álgebra de Polinomios
- Suma de Polinomios: Sumar polinomios es sumar las variables de la misma potencia.
Ejm: Sean f(x) = x4 + 2x3 - 4x + 5
g(x) = x3 - 2x2 + x - 3
f(x) + g(x) = x4 + 3x3 - 2x2 - 3x + 2
- Producto de Polinomios: El producto de polinomios es distribuir cada término de un polinomio con cada término del otro.
Ejm: Sean f(x) = x4 + 2x3 - 4x + 5
g(x) = x3 - 2x2 + x - 3
f(x) . g(x) = x7 + 2x6 - 4x4 + 5x3 [pic 1]
- 2x6 - 4x5 + 8x3 - 10x2
x5 + 2x4 - 4x2 + 5x
- 3x4 - 6x3 + 12x - 15
f(x) . g(x) = x7 - 3x5 - 5 x4 - 7x3 - 14x2 + 17x - 15
- División de Polinomios: Primero se ordenan los polinomios en orden descendente (de potencia mayor a potencia menor) y las potencias que no aparecen se deja un espacio.
La división de polinomios se hace como se hace la división en aritmética.
Ejm: Sean f(x) = x4 + 2x3 - 4x + 5
g(x) = x3 - 2x2 + x - 3
Dividir f(x) por g(x)
[pic 2][pic 3]
x4 + 2x3 - 4x + 5 x3 - 2x2 + x - 3 cociente: x + 4
-x4 + 2x3 - x2 + 3x x + 4 residuo: 7x2 - 5x + 17
4x3 - x2 - x + 5[pic 4]
-4x3 + 8x2 - 4x + 12
7x2 - 5x + 17
Algoritmo de la División
Sean f(x) y g(x) polinomios, entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que:
f(x) = g(x) . q(x) + r(x), donde 0 ≤ grad r(x) ≤ grad g(x)
f(x): Dividendo; g(x): Divisor; q(x): Cociente; r(x): Residuo
Ejm: Sean f(x) = x4 + 2x3 - 4x + 5 q(x) = x + 4
g(x) = x3 - 2x2 + x - 3 r(x) = 7x2 - 5x + 17
Veamos que es g(x) . q(x) + r(x)
(x3 - 2x2 + x - 3) (x + 4) + 7x2 - 5x + 17 = x4 + 4x3 - 2x3 - 8x2 + x2 + 4x - 3x - 12 + 7x2 - 5x + 17
= x4 + 2x3 - 4x + 5 = f(x)
Recordemos que el algoritmo de la división es:
f(x) = g(x) . q(x) + r(x)
Dividiendo por g(x):
f(x) = q(x) + r(x)
g(x) g(x)
x4 + 2x3 - 4x + 5 = x + 4 + _ 7x2 - 5x + 17_
x3 - 2x2 + x - 3 x3 - 2x2 + x - 3
Igualdad de Polinomios
Dos polinomios f(x) y g(x) son iguales si y sólo si son iguales coeficiente a coeficiente.
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