Factorización

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Cuando realizamos las multiplicaciones:

a) 2x (x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x

b)        (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorización:

1. FACTOR COMUN:

Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:

Ejemplo N 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea,

6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c

= 5a (a - 3b - 2c )

Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2  =

6xxy – 30xyy+12xxyy = 6xy(x-5y+2xy)

El factor común es “ 6xy “ porque

6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )

TALLER  # 1

1. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:

[pic 1]

Caso II: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan al gún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar elfactor común en cad a grupo, sean exactamente iguales.

Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común Ejemplos:

1. ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)

1. Agrupar términos que tienen factor común:        (ax+bx) + (ay+by)

1. Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)

1. Formando factores: uno con  los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es   la solución.

b) 3m2 -6mn +4m -8n =[pic 2]

1. Agrupando términos que tiene factor común: (3m2 - 6mn) + (4m - 8n)=(3mm-6mn)+

1. Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)

1. Formando factores: (m-2n)(3m+4) <– Solución.

1. a2 + ab + ax + bx

1. Agrupar términos con factor común: (a2 + ab ) + (ax + bx)

1. Factorar por el factor común: a(a+b) + x(a+b)

1. Formando factores: (a+b) (a+x) <–Solución

1. am – bm + an - bn

1. Agrupar términos con factor común: (am - bm) + (an - bn)

1. Factorar por el factor común: m(a-b) +n(a-b)

1. Formando factores: (a-b)(m+n) <– Solución.

1. ax - 2bx - 2ay + 4by

1. Agrupar términos con factor común: (ax - 2bx) - (2ay – 4by)

1. Factorar por el factor común: x(a-2b)-2y(a-2b)

1. Formando factores: (a-2b)(x-2y) <– Solución.

CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces.

Para solucionar un Trinomio cuadrado perfecto debemos:

1. organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada.

1. extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término.

1. el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. EJEMPLO:

a) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

b) 4x2 – 20xy + 25y2 =

(2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2

c) 16 + 40x2 + 25x4 =

(4 + 5x2) (4 + 5x2) = (4 + 5x2)2 =(4 + 5x2)(4 + 5x2)

d) 9b2 – 30a2b + 25a4 =

(3b – 5a2) (3b – 5a2) = (3b – 5a2)2

e) 400x10 + 40x5 + 1 =

(20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5+ 1)2

1. Resuelve los siguientes ejercicios del caso III

TALLER # 3

[pic 3]        [pic 4]

CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

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