Fisica Fundamental

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PROF. CEFERINO RODRIGUEZ

PRESENTACIÓN

El cálculo surgió como una herramienta muy necesaria para ser utilizada en las matemáticas, enfocada a la resolución de problemas en los que intervenía el movimiento. En la actualidad, su aplicación se ha generalizado a una gran diversidad de áreas del conocimiento, tal es el caso de las Ciencias Químicas, de las Ciencias Económicas, de las Ciencias Físico- Matemáticas, etc., interviniendo en aspectos, como: los cálculos de velocidades, aceleraciones, áreas, volúmenes y sólidos; cambios en las reacciones químicas y en transformaciones de la materia, en el crecimiento bacteriano, en el voltaje de una corriente eléctrica, en las utilidades o pérdidas de una empresa, entre otros. Los conocimientos de Cálculo Diferencial e Integral que se proporcionan al alumno de Bachillerato y perito, serán una base sólida para que en sus estudios universitarios, quienes decidan estudiar carreras científicas, profundice en la rama del conocimiento de su elección en la que seguramente el conocimiento del cálculo ocupará un lugar importante. El programa que aquí se presenta, no es el más avanzado de las matemáticas impartidas, pero sí tiene una base suficientemente sólida para minimizar los problemas que puedan presentársele en cualquiera de las Universidades que decida estudiar en el Nivel Medio Superior. Su estudio, supone conocimientos en Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica como contenido de cursos preliminares, los cuales aprovechamos a impartir en la primera unidad, temas que presentamos a continuación.

APRENDIZAJES PREVIOS QUE REQUIERE LA ASIGNATURA Operaciones con expresiones algebraicas. Clasificación y operaciones con funciones. Análisis de dominio, rango y gráficas de funciones. Identidades trigonométricas. Conceptos de geometría analítica.

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OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA Comprender los conceptos de derivada e integral de una función. Aplicar el concepto de derivada a la solución de problemas de optimización. Aplicar el concepto de integral al cálculo de áreas acotadas por funciones.

Los contenidos se presentan a continuación, en el índice de unidades

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________________________ 5 Resumen ________________________________________________________________ 8 Objetivos _________________________________________________________________ 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES _____________ 9 ANGULOS _______________________________________________________________ 9 Angulo complementario _____________________________________________________ 9 Angulo suplementario _______________________________________________________ 9 Angulos coterminales ______________________________________________________ 10 Relaciones entre grados y radianes ____________________________________________ 12 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS ____________ 13 Catetos: _________________________________________________________________ 13 Hipotenusa: ______________________________________________________________ 13 Identidades fundamentales __________________________________________________ 13 GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ____________________ 18 AMPLITIUD. ____________________________________________________________ 18 PERÍODO _______________________________________________________________ 18 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ________________________________ 28 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS _________________________________ 35

.. _______ 47 introducción _____________________________________________________________ 49 Objetivos ________________________________________________________________ 49 FUNCIONES Y LIMITES ____________________________________________ 50 Límites y Continuidad _____________________________________________________ 50 1. Límite de una función en un punto. Propiedades. _______________________________ 50 2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva. _________________________________ 51 3. Cálculo de límites. ______________________________________________________ 53 4. Función continua en un punto y en un intervalo. _______________________________ 55 5. Operaciones con funciones continuas. _______________________________________ 56 6. Discontinuidades. _______________________________________________________ 57 7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass. ___________________________________________________________ 58 LÍMITES __________________________________________________________ 60 LÍMITES UNILATERALES ________________________________________________ 68 CONTINUIDAD DE FUNCIONES _____________________________________ 79

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LA DERIVADA _____________________________________________________ 91 LA LINEA TANGENTE ___________________________________________________ 92 UN POCO DE HISTORIA _________________________________________________ 92 El problema de la tangente ____________________________________________ 92 REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS _________________________________ 106 DERIVADA DE UN PRODUCTO __________________________________________ 107 DERIVADA DE UN COCIENTE ___________________________________________ 108 REGLA DE LA CADENA. ________________________________________________ 110 Funciones explícitas y funciones implícitas ____________________________________ 113 El método de regla de la cadena para funciones implícitas ________________________ 113 dy/dx con derivadas parciales ______________________________________________ 116

________________________ 123 RAZONES DE CAMBIO ____________________________________________ 125 OBJETIVOS ___________________________________________________________ 125 Introducción ____________________________________________________________ 125 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ____________________________________________ 149 Cálculo de los máximos y mínimos relativos __________________________________ 149 LA INTEGRAL ____________________________________________________ 158 La integral indefinida _____________________________________________________ 158 Bibliografía ____________________________________________________________ 172

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Resumen En este curso desarrollaremos algunos contenidos de la trigonometría con el soporte de la calculadora y hojas de papel milimetrado, o en su defecto, hojas de papel cuadriculado, con el fin de poder trazar gráficas trigonométricas , específicamente de senos y cosenos, más exactas. También deduciremos algunas identidades trigonométricas y relacionaremos las relaciones trigonométricas con sus respectivas gráficas.

Objetivos

Obtener la gráfica de la función seno Obtener la gráfica de la función coseno Leer las gráficas de función seno y coseno Determinar valores aproximados de las funciones de seno y coseno Conocer el período y la amplitud de las funciones de seno y coseno Definir la medida de ángulos en grados y radianes Hacer conversiones de grados a radianes y viceversa Resolver ecuaciones trigonométricas

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES

ANGULOS

Angulo complementario

Es el que hace falta a un ángulo en posición estandar, para que sea de 90o

Ejemplo1 Si θ = 60o Encuentre el ángulo complementario

ooo c 6030 90  

El ángulo complementario es de 30o

Angulo suplementario Es el que le hace falta a un ángulo para que sea de 180o

θ

Ejemplo 2 Si θ = 60o Encuentre el ángulo Suplementario

oo s 60120 1800   El ángulo suplementario de 60o es 120o

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Angulos coterminales Es cuando a un ángulo se le suman ángulos de 360o 0 -360o

Ejemplo 3 Si θ = 60o está en posición estandar, encuentre dos ángulos positivos y dos negativos que sean coterminales con θ

El primero positivo 60o + 360o = 420o El segundo positivo 60o + 2(360o) = 60o + 7200 = 780o

El primer negativo

60o + (-360o) = 600 – 360 = – 300o

El segundo negativo

60o + 2(-360o) = 60o – 720o = – 660o

Ejercicios: 1. Determina el ángulo complementario de θ

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a. θ = 10o b. θ = 25o c. θ = 85o d. θ = 80o e. θ = 5o17’34’’ f. θ = 63o4’15’’ g. θ = 48030’25’’ h. θ = 152o15’33.5’’ i. θ = 135.22o j. θ = 125o14’15’’ k. θ = 32.5o l. θ = 82.73o

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2. Encuentra el ángulo suplementario de θ a. θ = 100o b. θ = 126 c. θ = 25o d. θ = 85o e. θ = 80o f. θ = 5o17’34’’ g. θ = 63o4’15’’ h. θ = 48030’25’’ i. θ = 152o15’33.5’’ j. θ = 135.22o k. θ = 125o14’15’’ l. θ = 32.5o m. θ = 82.73o

3. Si θ está en posición estandar, encuentra dos ángulos coterminales positivos y dos negativos.

a. θ = 120o b. θ = 135o c. θ = - 30o d. θ = 240o e. θ = 315o f. θ = -150o g. θ = -150 h. θ = 620o

i. θ =

6 5 

j. θ =

3 2 

k. θ =

4  

l. θ =

4 5  

Relaciones entre grados y radianes Una vuelta completa medida en grados tiene 3600, medida en radianes tiene  2 radianes, entonces la mitad de la vuelta o sea una línea recta mide 1800 y en radianes  .

Entonces,

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