Formas Cuadraticas

6.6 Formas cuadráticas.

Objetivo:

Definir y diagonalizar una matriz simétrica, encontrar una matriz ortogonal que diagonalice ortogonalmente a una matriz simétrica.

Introducción

Una forma cuadrática es una ecuación en donde por lo menos dos o tres de sus términos se encuentran elevados a una potencia 2, se pueden utilizar estas ecuaciones para obtener información acerca de secciones cónicas en en círculos parábolas, elipses , hipérbolas etc. Por lo tanto se puede decir que juegan un papel importante en la geometría

Forma cuadrática

La expresión algebraica

En donde , y son constantes es una forma cuadrática. Las formas cuadráticas juegan un papel importante en la geometría. Como el lector comprobará mediante la multiplicación de matrices siguientes, esta forma cuadrática se escribe como:

Sea y . Se puede escribir la forma cuadrática como:

A la matriz simétrica asociada a esta forma cuadrática se le llama matriz de la forma cuadrática.

Escriba la siguiente forma cuadrática en términos de matrices.

Por comparación con la forma estándar , se tiene

, ,

Entonces, la forma matricial de la forma cuadrática es

Analice la siguiente ecuación y dibuje su grafica

Esta ecuación contiene la forma cuadrática . Escriba la ecuación en forma matricial:

Se encontraron los valores propios y los vectores propios correspondientes de la matriz que son

Al normalizar estos vectores propios y escribirlos como las columnas de una matriz ortogonal , se tiene

Se sabe que la ecuación puede transformarse de la forma

Mediante la trasformación de coordenadas

Al multiplicar las matrices y reordenar, la ecuación en el sistema de coordenadas es

((〖x^,)〗^2)/2+((〖y^,)〗^2)/4=1

Aquí se reconoce la ecuación de una elipse en el sistema de coordenadas . La longitud del semieje mayor es 2, y la longitud del semieje menor es . Sólo queda localizar el sistema de coordenadas respecto al sistema de coordenadas . La rotación de las coordenadas está definida por la matriz . Por lo que

Esto da y en donde radianes; o grados, la coordenada de rotación es aproximadamente 〖63.4〗^o. Ahora sabe cuál es la gráfica en el sistema de coordenadas .

Conclusión.

En conclusión se puede traducir una ecuación cuadrática a una expresión matricial, al decir que nos da información acerca de secciones cónicas, nos referimos a que podemos identificar una ecuación estándar de.

Y de la forma

6.7 Teorema de Cayley – Hamilton

Objetivo:

Identificar y resolver ecuaciones de Formas cuadráticas.

Introducción

El teorema de Cayley-Hamilton se debe en honor a los matemáticos Willian Rowan Hamilton y Arthur Cayley en su teorema indican que “toda matriz cuadrada satisface su ecuación característica”.

En ocasiones se aplica el teorema de cayley Hamilton para encontrar las inversas de matrices 3 x 3. Cuando un método no es muy idóneo.

TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON

Demostración.

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