Formulario De Calculo Diferencial E Integral

Formulario general de Calculo Diferencial e Integral por Oscar Eduardo Romo Valdovinos

Límites definidos:

Para calcular un límite definido por tabulación, se aplica la regla de incrementos del valor definido en la variable “x” que se acerquen al límite por la izquierda y por la derecha, es decir, números mayores y menores cercanos al límite establecido:

lim┬(x→p)⁡f(x)

Límite en X F(x) Limite en Y

“a” que se acerca por la derecha F(a) “b” que tiende por la derecha

“a” que se acerca por la izquierda F(a) “b” que tiene por la izquierda

Entre ambos resultados tendremos la cercanía por milésimas a una constante, y usando el cálculo mental, se define que el límite es el número al que ambas constantes se acercan tanto por la derecha como por la izquierda.

Normalmente la tabulación se utiliza para realizar una gráfica exacta del punto límite de la función establecida, sin embargo, si lo único que se quiere saber, es el límite sin la función tabulada, existe otro método para definir el límite directamente, llamado método de sustitución:

lim┬(x→p)⁡〖f(x)〗=f(p)

Esto nos indica, que dada la función con respecto a una variable “x” o cualquier otra variable, se reemplazará la variable por la tendencia del límite en la función y se despejara directamente el límite.

Límites indefinidos:

Los límites indefinidos son el resultante de una función, que representa una fracción en la cual el denominador resulta ser 0, es decir, es una expresión matemática incorrecta, ya que toda división entre 0 no existe. Para estos casos, se puede recurrir a varios métodos para poder definir el límite:

Método de multiplicación por un “1” en los radicales

Usualmente, cuando un límite es indefinido, tenemos en alguna parte de la fracción un radical que nos impide definir correctamente el límite y despejarlo, este radical suele afectar de tal manera que el denominador se vuelva 0, y se puede hacer lo siguiente:

lim┬(x→0)⁡〖=((√(x+9))(-3))/x〗

En este caso, si reemplazamos la variable “x” por la tendencia del límite que es 0, como nos indica el método de sustitución, tendríamos una división entre 0 y sería incorrecto, por lo que se procede a efectuar los siguientes pasos:

Ya que sabemos que el radical es la raíz de x+9 que multiplica a un -3, multiplicamos toda la función original por un 1 que signifique el opuesto de la expresión donde se encuentra nuestro radical:

〖lim┬(x→0)=〗⁡〖(((√(x+9))(-3))/x) (((√((x+9))(3))/((√((x+9))(3)))〗

Sabiendo que la raíz de x+9 por 3 entre la raíz de x+9 por 3 es igual a un 1 expresado de una manera más compleja, llevándonos al siguiente paso

Se realiza la multiplicación de nuestra función original f(x) por el 1 que se indicó como opuesto a la parte de la fracción que contiene radicales quedando ya resuelta de la siguiente manera:

〖lim┬(x→0)=〗⁡〖((√(x+9))^2 〖(-3)〗^2)/(x(√(x+9)+3))〗

En esta parte, queda una expresión que es raíz cuadrada de x+9 elevado al cuadrado, esto puede quedar eliminado ya que una potencia de igual magnitud que una raíz, se destruyen o se eliminan, quedando expresado de la siguiente manera:

〖lim┬(x→0)=〗⁡〖((x+9)〖(-3)〗^2)/(x(√(x+9)+3))〗

Una vez, que tenemos reescrita la función original f(x), se resuelven las operación dentro de esta para que la función quede lo más simplificada posible:

〖lim┬(x→0)=〗⁡〖1/(√(x+9)+3)〗

Y de esta manera, la función reescrita ya se puede definir en el límite cuando la variable que en este caso es “x” tiende a 0

Por último, se sustituyen las variables dentro de nuestra función para poder definir el límite aplicando el método de sustitución:

〖lim┬(x→0)=〗⁡〖1/(√((0)+9)+3)〗=0.288

Quedando así el límite definido el límite.

Método de resolver trinomios o polinomios

En algunos casos, tendremos un límite fraccionario que no tenga ningún radical o que multiplicarlo por un 1 complejo nos resulte más problemática su resolución, por lo que recurrimos a este método en donde se tratara de resolver trinomios o polinomios dentro de alguna parte de la fracción para poder simplificarla:

lim┬(x→-1)⁡〖(x^2-1)/(x+1)〗

En este caso, el límite es indefinido ya que si remplazamos la variable “x” por su valor -1 directamente, en el denominaros nos encontraremos con un 0, y entonces será matemáticamente incorrecta la expresión, sin embargo, en el nominador existe una potencia, esto quiere decir que el denominador puede ser factorizado en 2 binomios que sean la razón de nuestro termino original y se realizan los siguientes pasos para poder determinar el límite:

Factorizar las partes que sea posible sean factorizadas para poder simplificar la función:

〖lim┬(x→-1)=〗⁡〖(x+1)(x-1)/(x+1)〗

Se factorizó de esta manera ya que al multiplicar (x+1)(x-1) su resultado será el nominador original.

Se cancelan términos semejantes que se encuentren en el nominador y en el denominador:

〖lim┬(x→-1)=〗⁡〖x-1〗

En este caso, el x+1 del nominador se eliminó con el x+1 del denominador, ya que esta división resulta 1 y se puede dejar expresado de manera invisible.

Al quedar definido el límite, se sustituyen las variables “x” por su tendencia y se define el límite:

〖lim┬(x→-1)=〗⁡〖(-1)-1=-2〗

Limites infinitos

Existen tendencias en las variables de los límites, que no son exactas, es decir, que se aproximan a un número ya sea por la izquierda (negativamente) o por la derecha (positivamente). Se denomina que estos límites son infinitos porque se acercan a un número que si sería exacto, el límite sería indefinido y se aplicarían las reglas anteriores para definirlo y resolverlo directamente. Para explicarlo mejor, los límites infinitos resultan de una división hipotética sobre 0, que ya habíamos indicado que es matemáticamente imposible, sin embargo, en el cálculo, las divisiones hipotéticas sobre 0 resultan ser ∞, y de ahí es de donde resultan los limites infinitos, la formula general de la solución de estos límites es:

lim┬(x→p^± )⁡〖f(x)=±∞〗

La dificultad de estos límites radica en la tendencia lateral de la constante “p”, ya que dependerá de esa tendencia el símbolo del resultado que será infinito. Se sugiere el siguiente ejemplo:

lim┬(x→3^+ )⁡〖(x+2)/(x-3)〗

Cuando el límite, tiende a un número con tendencia +, es decir, que se acerca a él por la derecha, se puede suponer cualquier valor muy cercano al 3 en este caso, mayor a él, se sugiere tomar el 3.0001, ya que esta cerca

Fórmulas para límites trigonométricos:

Al igual que en todas las operaciones necesarias para definir ángulos, en los límites también existe el uso de las funciones trigonométricas, recordando que son el seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. Para estos casos, si existe un modo de solución directa a diferencia de los límites en expresiones algebraicas, aunque es posible combinar ambos y hacerlo paso a paso:

lim┬(x=P)⁡〖Senx=Sen(P)〗

lim┬(x=P)⁡〖Cosx=Cos(P)〗

lim┬(x=P)⁡〖Tanx=Tan(P)〗

lim┬(x=P)⁡〖Secx=Sec(P)〗

lim┬(x=P)⁡〖Cscx=Csc(P)〗

lim┬(x=P)⁡〖Cotx=Cot(P)〗

Identidades trigonométricas fundamentales

Entiéndase como identidades fundamentales como a la razón de cada función trigonométrica, es decir, el porqué de su existencia. Las 6 razones trigonométricas surgen del triángulo rectángulo, tomando como al cateto (lado) de la base como cateto adyacente (Ca), al cateto (lado) del costado a la hipotenusa como cateto opuesto (Co) y a la hipotenusa(Hip) como el lado más largo del triángulo resultante de unir ambos extremos de los catetos.

Como una definición de cada razón trigonométrica:

Seno: Es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa

Coseno: Es la razón entre el largo del cateto adyacente del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa

Tangente: Es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo

Secante: Es la razón trigonométrica inversas del coseno, es la longitud de la hipotenusa dividida para la longitud del lado adyacente

Cosecante: Es la longitud de la hipotenusa dividida por la longitud del cateto opuesto, es la razón trigonométrica inversa al seno

Cotangente. Es la longitud del cateto adyacente dividida por la longitud del cateto opuesto, es la razón trigonométrica opuesta de la tangente.

Razones trigonométricas pitagóricas

Pitágoras dijo, que en un triángulo rectángulo, podía definir la hipotenusa con la operación cateto adyacente al cuadrado más cateto opuesto al cuadrado sería igual a la hipotenusa al cuadrado, quedando la ecuación de la siguiente manera:

a^2+b^2=c^2

De esta ecuación, se desglosan las identidades fundamentales anteriormente mencionadas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, pero, hay ocasiones en donde existen ecuaciones en límites o simplemente en cualquier tipo de ecuación con identidades desconocidas que nos presentan dificultades a la hora de simplificar nuestros resultados. Para estos casos especiales existen las identidades trigonométricas pitagóricas. Cabe mencionar, que las identidades pitagóricas parten

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