Funciones con derive

FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN [pic 6]

Las ecuaciones paramétricas al considerar una partícula que se mueve en un plano de modo que las coordenadas [pic 7] de su posición en cualquier instante [pic 8] están determinadas por las ecuaciones [pic 9] y [pic 10]y en el espacio tridimensional, con las coordenadas [pic 11] de la posición de la partícula en cualquier tiempo [pic 12] están dadas por las tres ecuaciones paramétricas [pic 13]  a ≤  t ≤ b esto significa que para cualquier tiempo t, podemos localizar la posición (x, y, z) de la partícula.

Una manera adecuada para describir el movimiento de esta partícula es mediante el vector posición, esto es [pic 14]

Donde f(t), g(t), h(t) se llaman las funciones de los componentes.

FUNCIÓN VECTORIAL. Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su rango (contradomino) es un conjunto de vectores.

El dominio de una función vectorial es el conjunto de t, para que todos los componentes de las funciones estén definidos.

Sean [pic 15]y [pic 16] funciones reales de la variable real [pic 17]. Entonces se define la función vectorial [pic 18] por medio de: [pic 19] o [pic 20]donde [pic 21] es cualquier número real del dominio común [pic 22]y[pic 23].

En el plano, se define una función vectorial [pic 24] mediante [pic 25] donde [pic 26] pertenece al dominio común de [pic 27] y [pic 28].

EJEMPLO1. Determine el dominio de la siguiente función. [pic 29][pic 30]

El primer componente se define para todos "t”. El segundo componente sólo está definido para [pic 31]. El tercer componente sólo está definido para[pic 32][pic 33]. Poniendo todos estos juntos le da el dominio siguiente. [pic 34]

Este es el mayor intervalo posible para que los tres componentes se definan.

Ejemplo 2. Sea [pic 35] la función vectorial definida por: [pic 36]

Si [pic 37] y [pic 38], entonces el dominio de [pic 39] es el conjunto de valores de [pic 40] para los cuales [pic 41] y [pic 42] están definidas. Como [pic 43] está definida para [pic 44] está definida para todo número real diferente de [pic 45], y [pic 46] está definida para todos los números positivos, el dominio de [pic 47] es [pic 48].

La ecuación: [pic 49] se denomina ecuación vectorial la cual describe la curva [pic 50] definida por las correspondientes ecuaciones paramétricas esto es, una curva puede definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramétricas.

GRÁFICA DE FUNCIONES VECTORIALES

Recordemos que un vector de posición, por ejemplo[pic 51] Es un vector que comienza en el origen y termina en el punto [pic 52] 

Y además que cualquier función vectorial se puede dividir en un conjunto de ecuaciones paramétricas que representan el mismo gráfico.

EJEMPLO 3

Grafique la curva plana definida por la ecuación vectorial [pic 53] 

Se define sus ecuaciones paramétricas [pic 54] y [pic 55]

Y ahora utilizamos software matemáticos ´para representarlos.

[pic 56]

Nota: revisar guía de gráficas de ecuaciones paramétricas con derive 6.0

EJEMPLO 4.Trazar la gráfica de la función vectorial siguiente[pic 57]

Se define sus ecuaciones paramétricas [pic 58] Y ahora graficamos.

[pic 59]

EJEMPLO 5. Trazar la gráfica de la función vectorial  [pic 60]

Las ecuaciones paramétricas de la curva son[pic 61] 

[pic 62]

Los  puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4, el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del  plano xy

Una ecuación vectorial de una curva proporciona una dirección a la curva en cada punto. Esto es, si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro [pic 63] aumenta. En tal caso, [pic 64] puede ser una medida del tiempo, de modo que al vector [pic 65] se le llama vector de posición.

EJEMPLO 6. Dibuje la curva que tiene la ecuación vectorial

[pic 66]

Las ecuaciones paramétricas de la curva son [pic 67]

El parámetro [pic 68] de las dos primeras ecuaciones se elimina al elevar al cuadrado los dos miembros de estas ecuaciones y sumar los miembros correspondientes, obteniéndose

[pic 69]

Por tanto, la curva está completamente contenida en el cilindro circular recto cuya directriz es la circunferencia [pic 70] del plano [pic 71] y cuyas regladuras (o posiciones de su generatriz) son paralelas al eje.

[pic 72]

La curva se denomina hélice circular.

Una hélice más general tiene la ecuación vectorial [pic 73] y ecuaciones paramétricas [pic 74] donde [pic 75] y [pic 76] con constantes diferentes de cero.  Cuando [pic 77], la curva es una hélice circular.

Una curva que tiene la ecuación vectorial [pic 78] donde [pic 79] y [pic 80] son constantes diferentes de cero, se denomina cúbica alabeada.

Para graficar la mayoría de las curvas tridimensionales pueden recurrirse a las computadoras y programas (o software para graficar)  para trazar estas curvas.

OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES.

Dadas las funciones vectoriales [pic 81] y [pic 82] y  las funciones reales [pic 83] y [pic 84]:

1. La suma de [pic 85] y [pic 86], denotada por [pic 87], es la función vectorial definida por [pic 88]
2. La diferencia de [pic 89] y [pic 90], denotada por [pic 91], es la función vectorial definida por [pic 92]
3. El producto punto de [pic 93] y [pic 94], denotado por [pic 95], es la función vectorial definida por [pic 96]
4. El producto cruz de [pic 97] y [pic 98], denotado por [pic 99], es la función vectorial definida por [pic 100]
5. El producto de [pic 101] por [pic 102]; denotado por [pic 103], es la función vectorial definida por [pic 104]
6. La función compuesta de [pic 105] y [pic 106], denota por [pic 107], es la función vectorial definida por [pic 108]

EJEMPLO 7.Dada [pic 109] y [pic 110]

Calcule:

[pic 111]

1. [pic 112]
2. [pic 113]
3. [pic 114] (porque [pic 115])
4. [pic 116]
5. [pic 117]
6. [pic 118]

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea [pic 119] una función vectorial cuyos valores de función están dados por:

[pic 120]

Entonces el límite de [pic 121] cuando [pic 122] tiende a [pic 123] está definido por

[pic 124]

si [pic 125] y [pic 126] existen.

Por supuesto, esta definición también se aplica a las funciones vectoriales del plano al considerar la componente [pic 127] como cero.

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