Funciones de Probabilidad

Funciones de Probabilidad, f(x) y F(x). Consideremos una Variable Aleatoria. discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que P(X=x1)=P1, P(X=x2)=P2, P(X=x3)=P3,..., P(X=xn)=Pn y en general, P(X=xi)=Pi. La función de probabilidad f(x) de la Variable Aleatoria X es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad Pi.

Cuando la variable X es discreta, esto es, cuando solo toma valores en un conjunto numerable de valores, (xi), finito o infinito, entonces la relación es

Entre las distribuciones discretas más importantes tenemos,

Uniforme discreta, Bernoulli, Binomial,

Binomial Negativa, Poisson, Geométrica, Hipergeométrica, y Triangular,

que estudiarán más adelante

Función de Distribución, F(x). En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución.

Sea X una Variable Aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a mayor. es decir, asocia a cada valor de la Variable Aleatoria discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor (la probabilidad de que la Variable Aleatoria tome valores menores o iguales a xi). Se deben cumplir las siguientes condiciones,

- F(x) es una probabilidad tal que

- F(x)=0 se cumple para todo x<xi

- F(x)=1 se cumple para todo x>xi

- F(x) es constante en el Intervalo (xi,xi+1)

- F(x) es continua y creciente por la derecha de todo punto

-

Distribuciones de Probabilidad. También se puede definir como el comportamiento estocástico de una magnitud o variable aleatoria X queda determinado por su función de distribución , que representa la probabilidad de que una observación de X tenga un valor menor o igual que el número real x. La probabilidad de que X se encuentre dentro del intervalo (x1, x2] es . Es habitual caracterizar F mediante su función de densidad f. En el caso de variables absolutamente continuas, la relación entre F y f es

Entre otras, las distribuciones continuas de probabilidad se pueden mencionar como más importantes,

Normal o Gauss, Lognormal, Chi2 de Pearson,

t-Student, F-Snedecor, Exponencial,

Gamma, Beta, Weibull,

Rayleigh, Gumbel, Logística,

Pareto, Laplace, y Cauchy,

que estudiarán más adelante

Parámetros. La media o esperanza matemática es una medida de localización, que indica el valor alrededor del cual fluctúa la variable aleatoria X; si ésta es continua, la media se define como

en el caso discreto

en el caso continuo

Similarmente se calcula la varianza y demás parámetros. El método de momento y esperanza matemática se estudiará mas adelante.

La función de distribución F, es una función no decreciente, es decir, Si x1<x2, entonces, F(x1)≤F(x2).

Es continua a la derecha, esto es,

.

De otra parte,

Variables aleatorias continuas. Si una variable toma los valores x1, ..., xk. Cuando la variable es continúa, no tiene sentido hacer una suma de las probabilidades de cada uno de los términos en el sentido anterior, ya que el conjunto de valores que puede tomar la variable es no numerable.

Este concepto es el de función de densidad de una Variable

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