Funciones medibles

Funciones medibles

En el desarrollo de la integral de Lebesgue nos ocuparemos de clases de funciones reales definidas sobre un conjunto X. en diversas aplicaciones del conjunto X puede ser el intervalo unidad I = [0,1] que consta de todos los números reales x que satisface 0 <= x <= 1; puede ser el conjunto N = (1,2,3, ..) de los números naturales; puede ser toda la recta real R; puede ser todo el avión, o puede ser algún otro conjunto. Desde el desarrollo de la integral no depende del carácter del espacio X subyacente, vamos a hacer suposiciones acerca de su naturaleza específica.

Teniendo en cuenta el conjunto X, que señalamos a una familia de subconjuntos de X X que son "de buen comportamiento" en cierto sentido técnico. Para ser precisos, supondremos que esta familia contiene el conjunto vacío (teta) y todo el conjunto X, y que X es cerrado bajo la complementación y uniones contables.

2.1 DEFINICIÓN. Un HX de subconjuntos de un conjunto X de la familia se dice que es una fi-álgebra (o un campo fi) en caso de que:

i) (teta), X pertenecen a X

ii) si un pertenecen a X, entonces el complemento C (A) = X / a pertenece a X

iii) si (An) es una secuencia de conjuntos en X, entonces la unión ______ pertenece a X

Un par ordenado (X, X) que consiste en un conjunto X y un ____ X de subconjuntos de X se llama un espacio medible. Cualquier conjunto de X se llama un conjunto X-medible, pero cuando el ____ X es fijo (como suele ser el caso), el conjunto por lo general se puede decir que sea medible.

El lector recordará las reglas de De Morgan:

(2,1)

Se deduce de estos que la intersección de una secuencia de conjuntos en X también pertenece a X.

No vamos a dar algunos ejemplos de ____ de subconjuntos.

2.2 EJEMPLOS: a) Sea X cualquier conjunto y sea X la familia de todos los subconjuntos de X.

b) sea X la familia que consiste en exactamente dos subconjuntos de X, a saber (theta) y X.

c) sea X = (1,2,3, ....) el conjunto N de los números naturales y sea X constan de los subconjuntos.

.................................

d) sea X un conjunto no numerable y X la colección de subconjuntos que son ya sea contable o tienen complementos contables.

e) Si X1 y X2 son ______ de subconjuntos de X, deja que X3 sea la intersección de X1 y X2; es decir, X3 se compone de todos los subconjuntos de X que pertenecen a ambos X1 y X2. Se comprueba fácilmente que X3 es un ______.

f) sea A un conjunto no vacío de subconjuntos de X. observamos que hay una pequeña ____ de subconjuntos de X que contiene A es también un ____ que contiene A. Este pequeño ____ a veces se llama el ____ generado por A.

g) Sea X el conjunto R de los números reales. El álgebra de Borel es el ____ B generado por todos los intervalos abiertos (a, b) en R. observar que la Borel álgebra B es también el ____ generados por todos los intervalos cerrados [a, b] en R. Cualquier conjunto en B recibe el nombre de establece Borel.

h) Sea X el conjunto R (rallada) de números reales extendidos. Si E es un subconjunto de Borel de R, y mucho.

(2.2) .......................................... ..

Y sea B (rallada) sea la colección de todos los conjuntos E, E1, E2, E3 como E varía con el B.

Se ve fácilmente que B (rallada) es un _____ y que se llamará el álgebra de Borel extendida.

En lo que sigue, consideraremos un espacio medible fijo (X, X).

2.3 DEFINICIÓN. Una función F en X a R se dice que es X-medible (o simplemente medible) si para cada número real (alfa) el conjunto

(2.3) ........................... ..

Pertenece a X.

El siguiente lema muestra que podríamos haber modificado la forma de los sistemas en la definición de la mensurabilidad.

2,4 Lemma. Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una función F en X a R:

(a) Por cada (alfa E R), el conjunto A (sub alfa) = ............... pertenece a X

(b)

(c)

(d)

PRUEBA. Puesto que B (sub alfa) y A (sub alfa) son complementarios el uno del otro, la declaración (a) es equivalente a la declaración (b). Similitud, las declaraciones (c) y (d) son equivalentes. Si (a) se cumple, el A (sub alfa -1 / n) pertenece a X para cada n y desde

................................. ..

De ello se deduce que C (sub alfa E X). Por lo tanto (a) implica (c). Ya que

....................................

Se deduce que (c) implica (a).

2.5 Ejemplos. (A) Cualquier función constante es mensurable. Porque, si F (x) = c para todo x E X y si alfa> = c, entonces

.................................... ..

Mientras que si alfa

....................................

(B) Si E e X, entonces la característica Xtube función, definida por

..................................

.............................. ...

Es mensurable. De hecho, .................. es o bien X, E, o teta.

(C) Si X es el conjunto R de los números reales, y X es el álgebra de Borel B, entonces cualquier función F continua en R a R es Borel medible (es decir, B-medible). De hecho, si es continua, entonces .......... Es un conjunto abierto en R y, por tanto, es la unión de una secuencia de intervalos abiertos.

Por lo tanto, pertenece a B.

(D) Si X = R y X = B, entonces cualquier función monótona es Borel medible. Para, supongamos que F es monótona creciente en el sentido de que implica prima xx F (x) <= F (x prima). Entonces ............ .. consta de una línea media, que es ya sea de la forma o la forma .................. ................... (Muestran que pueden ocurrir ambos casos).

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