Generalidades Tejido Conjuntivo - Histología

Universidad de Chile[pic 1]

Facultad  de  Ciencias  F´ısicas  y  Matem´aticas Departamento de Ingenier´ıa Industrial

IN44A: INVESTIGACIO´N OPERATIVA

Procesos de Poisson

Denis  Saur´e  V. Julio, 2003.

1. Problemas de  Procesos  de  Poisson

1. Se tiene una central telef´onica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λ = 5 [llamadas/hora]. Se define con N (t, t′) el nu´mero de llamadas que se han recibido entre t y t′. El servicio ha  comenzado  a  operar  a  las  7:00  de  la  man˜ana  y  se  sabe  que  N(7,  9)=7.

1. Si el operador no ha recibido ninguna llamada desde las 8:45 hrs. ¿cu´al es la probabilidad de que la siguiente llamada ocurra antes de las 9:15 hrs. ?.
2. ¿Cu´al es la probabilidad de que el operador est´e ocioso por m´as de 40 minutos (comenzando a las 8:45)?.
3. ¿Cu´al  es  la  probabilidad  de  que  a  las  10:00  hrs.  se  hayan  recibido  25  llamadas  en  total?.
4. )     Si el operador trabaja un turno de 8 horas ¿cu´antos llamados recibir´a en promedio ?. ¿cu´al ser´a la varianza  ?.
5. El operador ha estado muy ocupado durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a su compan˜ero de trabajo en su hora de colaci´on: “Este ser´a un d´ıa muy ocupado, en la man˜ana casi no he podido descansar”. Explique si el operador tiene o no razones para realizar esta afirmaci´on.

1. Suponga  que  el  nu´mero  de  goles  que  marca  un  equipo  de  fu´tbol  puede  ser  descrito  por  un  proceso  de Poisson. Considere los siguientes equipos (procesos independientes) :

A : tasa λA goles/partido B: tasa λB goles/partido

1. Si  se  enfrentan  A  y  B,  ¿Cu´al  es  la  probabilidad  de  que  A  gane  2  x  1?.
2. Suponga que ha transcurrido el primer tiempo entre A y B, si se sabe que A va ganando 2 x 0,

¿cu´al es la probabilidad de que el primer gol haya sido antes de 15 min. y el segundo antes de 30 min.?.

1. Va a comenzar el segundo tiempo (A va ganando 2 x 0), ¿cu´al es la probabilidad de que A marque 3 goles antes de los 30 min. (sin importar lo que pase con B)?.
2. )     Suponga que el partido en su tiempo reglamentario (90 min.) qued´o igualado 3 x 3. Sin embargo, es necesario definir el ganador, para ello se utilizar´a la modalidad “golden goal”, es decir, el primero que  marca  el  gol  gana.  ¿Cu´al  es  la  probabilidad  de  que  el  partido  se  prolongue  por  m´as  de  45 minutos?.
3. Asuma que ahora se cambian las reglas a “two golden goals”, es decir, el primer equipo que marca 2  goles  consecutivos  gana.  ¿Cu´al  es  la  probabilidad  de  que  gane  B?.

1. (*) Una empresa de distribuci´on de energ´ıa el´ectrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con un Plan  de  Soluci´on  de  Fallas  Cr´ıticas.

De  las  estad´ısticas  recopiladas  de  los  an˜os  anteriores,  se  puede  concluir  que  las  fallas  cr´ıticas  tienen dos  or´ıgenes  posibles:  Domiciliario y  de  Alumbrado Pu´blico.  Ambas  fallas  se  presentan  segu´n  procesos de Poisson independientes, de tasa λD[fallas/d´ıa] para fallas domiciliarias y λA[fallas/d´ıa] para fallas de Alumbrado Pu´blico.

Como  parte  del  disen˜o  del  plan,  se  conform´o  un  equipo  de  empleados  altamente  capacitados  en  la reparaci´on de fallas en redes el´ectricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demor´andose un tiempo exponencialmente distribuido de media T[hrs] por cada una, incluyendo en este lapso el tiempo de transporte al lugar de la falla.

1. Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, ¿cu´al es el nu´mero esperado de fallas para el segundo mes?.

1. ¿Cu´al  es  la  probabilidad  de  que  la  primera  falla  que  se  registre  en  un  mes  sea  domiciliaria?.
2. El  equipo  de  reparaci´on  est´a  trabajando  en  la  soluci´on  de  una  falla  de  Alumbrado Pu´blico.  En promedio, ¿Cu´antas fallas de cada tipo ocurrir´an antes de que la reparaci´on en curso sea finaliza- da?.

Se  est´a  estudiando  la  posibilidad  de  dejar  la  reparaci´on  de  fallas  de  Alumbrado Pu´blico en  manos  de una  empresa  contratista.  Los  t´erminos  del  contrato  indican  que  mensualmente  se  pagar´a  como  costo fijo  un  equivalente  a  R  reparaciones  a  un  costo  unitario  s1,  mientras  que  el  precio  de  cada  reparaci´on por  sobre  este  m´ınimo  ser´a  de s2,  con  s2 > s1.

1. ) Como Ingeniero de Estudios de la empresa distribuidora, plantee el problema de optimizaci´on que  permita  encontrar  el  valor  R∗  que  minimiza  los  costos  mensuales  esperados  del  contrato  de reparaci´on  de  fallas  de  Alumbrado  Pu´blico.

1. El Call Center de una Isapre recibe llamadas correspondientes a reclamos y a consultas, las cuales pueden ser modeladas como procesos de Poisson de tasas λR y λC [llamadas/hora], respectivamente. Todos los reclamos son derivados al departamento de atenci´on al cliente para su an´alisis y soluci´on, al igual que una  fracci´on  p  de  las  consultas.  Este  departamento  demora  un  tiempo  exponencialemente  distribuido de  tasa  µ  en  procesar  cada  solicitud,  ya  sea  reclamo  o  consulta.  La  fracci´on  restante  de  las  consultas corresponde  a  aquellas  que  requieren  de  un  estudio  m´as  especializado,  por  lo  que  son  derivadas  a  la Gerencia  de  Estudios  de  la  compan˜´ıa.  Esta  gerencia  demora  un  tiempo  exponencialmente  distribuido de tasa 2   µ en el procesamiento de cada consulta. Suponiendo que todas las unidades de la compan˜´ıa trabajan 8 horas diarias de lunes a viernes, responda:[pic 2]

1. Si la semana pasada se recibieron R reclamos y C consultas, ¿cu´al es el valor esperado de llamadas que  esta  semana  ser´an  derivadas  al  Departamento  de  Atenci´on  al  Cliente?.  ¿y  a  la  Gerencia  de Estudios?.
2. ¿Cu´al  es  la  probabilidad  de  que  la  pr´oxima  llamada  que  se  reciba  corresponda  a  un  reclamo?.

El  Departamento  de  Atenci´on  al  Cliente  debe  emitir  diariamente  un  reporte  del  nu´mero  de  llamadas recibidas  en  cada  hora  de  operaci´on.  Lamentablemente,  por  un  error  computacional  perdi´o  toda  la informacion de las consultas recibidas en las u´ltimas 4 horas del d´ıa, pudi´endose rescatar solamente el dato de que en dicho intervalo de tiempo se recibieron Q consultas. Ante esta eventualidad, el Jefe del Departamento  le  encomienda  a  Ud.  intentar  reconstruir  esta  informaci´on.

1. Utilizando sus conocimientos de probabilidades determine cu´al ser´a la distribuci´on de probabilidad que  rige  al  nu´mero  de  llamadas  recibidas  en  la  primera  hora  de  operaci´on  “perdida”.  Intuitiva- mente, ¿cu´al ser´a la configuraci´on m´as probable para las llamadas recibidas en cada una de las 4 horas  de  operaci´on  sin  registros?.
2. )     Si un trabajador del centro de atenci´on recuerda con seguridad que en la u´ltima hora de operaci´on se  recibieron  Q/3  llamadas,  ¿cambia  su  respuesta  de  la  parte  anterior?.  Si  su  respuesta  es  afir- mativa  encuentre  la  distribuci´on  de  probabilidad  que  rige  al  nu´mero  de  llamadas  recibidas  en  la primera  hora  de  operaci´on  “perdida”  en  esta  nueva  situaci´on.

Suponga ahora que el Call Center funciona las 24 horas en forma continua

1. ¿C´omo  modificar´ıa  el  modelo  de  llegadas  enunciado,  de  modo  que  se  ajuste  mejor  a  la  nueva realidad?.  Razone  en  funci´on  de  la  variacion  de  la  tasa  a  lo  largo  del  d´ıa.

1. Turistas extranjeros llegan en el verano a un balneario segu´n un proceso de Poisson de tasa λ[turistas  /  mes]. Independiente  de  todo  lo  dem´as,  con  probabilidad  pA,  un  turista  que  llega  al  balneario  proviene  de algu´n  un  pa´ıs  sudamericano  y  con  probabilidad  1        pA  proviene  del  resto  del  mundo.  Los  turistas comienzan a llegar el 1 de enero.[pic 3]

1. Si hasta mitad de mes, han llegado m turistas en total. ¿Cu´al es la probabilidad que hasta fin de mes  lleguen  m´as  de  n turistas  en  total  (m ≤ n)?.
2. Dado  que  en  un  mes  llegaron  100.000  turistas  en  total.  ¿Cu´al  es  la  probabilidad  que  n  de  ellos sean sudamericanos?.
3. Es  el  20  de  enero  y  desde  el  19  de  enero  no  ha  llegado  ningu´n  turista.  ¿Cu´al  es  la  probabilidad que el siguiente veraneante que llegue sea sudamericano?.
4. )     En un mes llegaron 100.000 turistas en total. ¿Cu´al es la probabilidad que la mitad de ellos hayan llegado durante la primera mitad del mes?.
5. Los turistas sudamericanos dejan en el pa´ıs cantidades de dinero Xi que son variables aleatorias iid de media µ. Por su parte, los turistas del resto del mundo dejan en el pa´ıs cantidades de dinero Yi  que  son  variables  aleatorias  iid  de  media  γ.  ¿Cu´al  es  el  valor  esperado  de  la  cantidad  total  de dinero dejada en total por los turistas durante un mes?.

1. Una tienda que vende por cat´alogos ha realizado un estudio de su demanda, el que concluy´o que para un  per´ıodo  de  venta  (k)  cualquiera  el  nu´mero  de  potenciales  compradores  se  distribuye  Poisson  con una media igual al nu´mero de clientes que compr´o el producto en el per´ıodo anterior (k     1). Adem´as en  un  per´ıodo  (k)  cualquiera,  la  fracci´on  de  los  clientes  potenciales  que  compran  el  producto  es  e−pk donde  pk  es  el  precio  fijado  en  el  per´ıodo  (k).[pic 4]

Si  inicialmente  el  nu´mero  de  clientes  potenciales  se  distribuye  Poisson  con  media  λ,  responda:

1. ¿Cu´al es el precio ´optimo y el beneficio esperado m´aximo si se considera un s´olo per´ıodo de venta?.
2. Responda  lo  anterior  considerando  2  per´ıodos  de  venta.
3. Ahora se desea resolver el problema para un horizonte de T  per´ıodos. Si k es el nu´mero de per´ıodos que  faltan  hasta  el  fin  del  horizonte.  Muestre  que  la  soluci´on  ´optima  satisface:

p∗k  = 1 − Uk−1 y  el  beneficio  esperado  m´aximo  acumulado  es:

Vk∗(sk+1) = sk+1 · Uk

donde sk son las ventas den el per´ıodo k y Uk se define recursivamente por U0 = 0 y Uk  = eUk−1−1.

1. Suponga  que  las  personas  que  poseen  cierta  p´oliza  de  seguro  sufren  accidentes  en  instantes  0  < t1  < t2  <  ....,  siguiendo  un  proceso  de  Poisson  de  tasa  λ.  Segu´n  el  tipo  de  accidente,  existen  distintas cantidades de dinero que debe pagar la compan˜´ıa aseguradora al cliente. Para el accidente ocurrido en tn,  la  compan˜´ıa  cubre  un  monto  de Yn.

1. Escriba  la  expresi´on  para  el  monto  total  que  deber´a  pagar  la  empresa  a  los  accidentados  en  un intervalo  [0,T]  ?  ¿Qu´e  tipo  de  proceso  es  ?.
2. Suponga que existen pagos negativos (el cliente debe devolver dinero) cada vez que se detectan accidentes simulados, de manera que Yt puede ser modelada como una variable aleatoria de dis- tribuci´on  Normal(µ,   σ2).  ¿Qu´e  cantidad  de  dinero  deber´ıa  tener  disponible  la  compan˜´ıa  para cubrir,  en  promedio,  sus  gastos  en  un  per´ıodo  [0,t]  ?.

1. Entre  las  distintas  actividades  que  se  deben  planificar  para  un  evento  que  durar´a  10  horas,  est´a  el planificar  el  taman˜o  del  estacionamiento  que  se  va  a  arrendar  para  los  autos  de  los  visitantes.  La llegada  de  los  autom´oviles  al  evento  siguen  un  proceso  Poisson  con  tasa  λ(autos  /  hora).

Los  organizadores  deben  pagar  por  el  ´area  total  arrendada.  Ellos  saben  que  cada  auto  ocupa  un  ´area de A (m2) y el costo es de h [$/m2]. Cada auto que no puede estacionarse porque el estacionamiento

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