Geometria El Espacio

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIOPRODUCTO ESCALAR ab=abcosx⋅ ⋅ ⋅ (Cuando sepamos el ángulo que forman a y b).ab=ababab112233⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅(Cuando sepamos las coordenadas de a y b ).Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar será 0 (Cero).PRODUCTO VECTORIAL Dados lo vectoresr ru(x,y,z) y v=(x',y',z')= r ruxvi j kx y zx' y' z'= (El vector que resulta de este determinante esperpendiculararuyrv, y su módulocoincide con elÁREA DEL PARALELOGRAMO queforman u y v ).COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE Dados los puntos A(a,b,c ) y B (d,e,f ) el vector con origen en A y extremo en B se calcularestando B - AA-BAB = ECUACIONES DE LARECTAEN EL ESPACIO. Para hallar la ecuación de una rectaes necesario conocerUN PUNTO Y EL VECTOR DIRECTOR de la misma. Una recta, [obtenida a partir de unPUNTO (x0, y0,, z0)y unVECTOR (v 1, v 2, v 3)],se puede expresar de las siguientes formas:1.- ECUACIÓN VECTORIAL:(x,y,z) = (x0, y0,, z0) + t (v1, v2, v3)2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS: ⋅+=⋅+=⋅+=⇒302010vt z z vt y y vt x x 3.- ECUACIÓN CONTINUA: xxvyvzzv010203−=−=− 4.- EC. GENERAL DE LA RECTA(Intersección de dos planos): A x + B y + C z + D = 0A’x + B’y + C’z + D = 0

2NOTA: Para hallarel vectorde una recta expresada como intersección de dos planosbasta con hacer el producto vectorialaxb.siendo a=(A,B,C) y b=(A’,B’,C’). Para hallarun puntosólo hay que darle a la x o a la y o a la z un valor arbitrario,sustituirlo en el sistema y despejar las otras dos incógnitas.ECUACIONES DELPLANO Para hallar la ecuación de un plano es necesario conocerUN PUNTO Y DOS VECTORES DIRECTORES del mismo.Un plano, [Obtenido a partir de unPUNTO (x0, y0, z0)yDOS VECTORESrV(v 1, v 2,v 3) yrW(w1, w2, w3)], se puede expresar de las siguientes formas: 1.- ECUACIÓN VECTORIAL:( x,y,z) = (x0, y0,, z0) + t (v1, v2, v3) + s(w1,w2,w3)2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS ⋅+⋅+= ⋅+⋅+= ⋅+⋅+= ⇒330220110w svt z z w svt y y w svt x x

3.- ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA:Ax + By + Cz + D = 0x - x y - y z - zv v vw w w000 0123123= NOTA : Para hallarla sólo hay querealizar este determinante e igualarlo a cero. 4.- ECUACIÓN SEGMENTARIA: xaybzc1+ + = Los valoresrrra, b y cse denominan, respectivamente,abscisa ,ordenada , ycota en elorigen.5.- OTRA FORMA DE HALLAR LA ECUACIÓN DE UN PLANO: Un plano también se puede hallar sabiendoUN PUNTO Y SÓLO UN VECTOR, siempre ycuando ese vector seaperpendicular al plano(llamado vector normal), las coordenadasde ese vector coinciden con los coeficientes (A,B,C) del plano; para hallar el términoindependiente (D) del plano, sólo hay que sustituir las coordenadas del punto que nosden y despejarD.

3Ej/.π:Ax +By +Cz + D = OVector normal ( 3, 4, 5)

4 POSICIONES RELATIVAS.Posición relativaDEDOS PLANOS.Rango deMRango deM*Posición

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