Geometria en el Espacio
Enviado por Micaela A. Carrizo • 10 de Abril de 2017 • Apuntes • 11.139 Palabras (45 Páginas) • 146 Visitas
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
GEOMETRIA DEL ESPACIO:
Definición: es la rama de la geometría que se ocupa de estudiar los puntos, rectas, planos, propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional.
Espacio: es el ambiente que nos rodea. También se lo puede entender como el conjunto de puntos, en el cual hay algunos subconjuntos llamados rectas y otros subconjuntos llamados planos.
Elementos de la geometría del espacio:
Punto: es la mínima porción de figura que puede existir en la geometría, no solo en la del espacio sino también en la plana. No tiene dimensiones.
Recta: si todos los puntos, al unirlos, tienen la misma dirección entonces la línea formada es una recta. Esta es infinita porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitas puntos.
Plano: es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, por ende hay rectas que quedan incluidas en ella.
Solido: pueden tener diferentes formas o figuras y se pueden originar de varias maneras: por medio de la traslación de un plano, por medio de la rotación o revolución de un plano.
Punto Recta Plano Solido[pic 2]
- A cilindro[pic 3][pic 4][pic 5]
Postulados característicos del plano:
Postulado I: a una recta pertenecen infinitos planos.[pic 6]
a ∈ α, β, γ, δ,… [pic 7]
Postulado II: una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un plano al cual pertenecen.[pic 8][pic 9][pic 10]
a y A ∉ a determinan un plano α [pic 11][pic 12]
Postulado III: la recta determinada por dos puntos cualesquiera de un plano pertenece a dicho plano.[pic 13][pic 14]
A ∈ α, B ∈ α ⇒ AB ∈ α [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
Por lo tanto decir que la recta AB pertenece al plano α significa que todos sus puntos pertenecen a dicho plano.
Postulado IV: toda recta a de un plano αlo divide en dos partes llamadas semiplanos en cada uno de los cuales existen infinitos puntos, tales que:
[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
- Todo punto del plano que no esté en la recta a pertenece a uno de los dos semiplanos.
- Dos puntos de distintos semiplanos determinan un segmento que corta a la recta a.
- Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta a.
Postulado V: todo plano α divide al espacio en dos partes llamadas semiespacios, en cada una de las cuales existen infinitos puntos tales que:
[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
- Todo punto del espacio que no está en el plano α pertenece a uno de los dos semiespacios.
- Dos puntos de distintos semiespacios determinan un segmento que corta al plano α.
- Dos puntos de un mismo semiespacio determinan un segmento que no corta al plano α.
Teoremas referentes a la determinación del plano:
Teorema I: tres puntos no pertenecientes a una misma recta determinan un plano al cual pertenecen.
H) A, B y C ∉ a una misma recta [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]
T) A, B y C determinan αal cual pertenecen[pic 60][pic 61][pic 62]
D) como A y B determinan q por postulado III[pic 63][pic 64]
Resulta que q y C determinan α por postulado II
Teorema II: dos rectas que se cortan determinan un plano al cual pertenecen.
H) a y b determinan A [pic 65]
T) a y b determinan αal cual pertenecen [pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]
D) tomando en b un punto cualquiera B distinto de A [pic 72][pic 73][pic 74]
Resulta que α y B determinan α por postulado II
Y b ∈ α por estar A y B en dicho plano por postulado III
Posiciones relativas de dos rectas del espacio:
Dos rectas ∈ a un mismo plano se cortan [pic 75][pic 76]
son paralelas
Del espacio ∉ a un mismo plano SON ALBEADAS[pic 77]
Restas Secantes Rectas Paralelas Rectas Albeadas[pic 78]
[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]
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