Vectores y geometría del espacio

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Vectores y geometría del espacio

P

10.1 Vectores en el plano

CONTENIDO : Expresión de un vector en componentes

Operaciones con vectores - Vectores unitarios canónicos - Aplicaciones de los vectores •

Punto final

PQ

Punto inicial

Expresión de un vector en componentes Muchas magnitudes geométricas o físicas, como área, volumen, temperatura, masa y tiempo, se pueden caracterizar mediante números reales en una escala adecuada de medida. Se les denomina magnitudes escalares, y el número real asociado con cada una de ellas se llama un escalar.

Otras magnitudes, como fuerza, velocidad y aceleración, involucran un va lor numérico y una dirección, de modo que no se pueden representar completa mente por un número real. Como muestra la Figura 10.1, para representar tales magnitudes se utiliza un segmento (recto) dirigido. La longitud del segmento dirigido PQ, con punto inicial P y punto final Q, se denota por ||PQ|. Seg mentos como los de la Figura 10.2, de igual longitud y dirección, se dice que son equivalentes. El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido dado PQ es un vector en el plano y se denota por v=PQ. En los libros suelen utilizarse letras en negrita, u, V, W, ... para denotar los vectores. Sin embargo, cuando se escribe a mano suelen denotarse colocan do sobre las letras una flecha, digamos ū, ū, y w.

Es importante tener presente que un vector en el plano admite representa ción mediante muchos segmentos dirigidos distintos, concretamente todos los que tienen su misma longitud y apuntan en su misma dirección.

FIGURA 10.1 Un segmento dirigido.

EJEMPLO 1 Representación de vectores por segmentos dirigidos

FIGURA 10.2 Segmentos dirigidos equivalentes.

Sea v el vector representado por el segmento dirigido que va de (0, 0) a (3, 2), y u el representado por el segmento dirigido que va de (1, 2) a (4, 4). Probar que v = u.

Solución: En la Figura 10.3 se han denotado por P(0, 0) y Q(3, 2) los puntos inicial y final de v, y por R(1, 2) y S(4, 4) los de u. La fórmula de la distancia nos permite verificar que PQ y RS tienen la misma longitud, ya que

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Sección 10.1

Vectores en el plano

971

||PQ|I = V(3 - 0)2 + (2 - 0)2 = V13 ||RŠII = (4 - 1)2 + (4 – 2)2 = V13

(4,4)

Longitud de PÔ Longitud de RS

2

(1,2),

(3,2),

Además, ambos segmentos tienen la misma dirección, porque apuntan hacia la derecha y hacia arriba sobre rectas de igual pendiente:

2 - 0 2 Pendiente de PQ = =

3 - 03

am-ton x

y

(0,0) 1

2

3

4

FIGURA 10.3 Los vectores u y v son iguales.

4 - 2 2 Pendiente de RS = =

4-13

Como PQ y RS tienen la misma longitud y la misma dirección, concluimos que los dos vectores son iguales, es decir,

V = u

El segmento dirigido con punto inicial en el origen suele resultar el repre sentante más conveniente de un conjunto de segmentos dirigidos equivalentes como el de la Figura 10.3. Este representante de v se dice que está en posición canónica. Un segmento dirigido cuyo punto inicial es el origen puede caracte rizarse dando sólo las coordenadas de su punto final Q(V1, V2), como indica la Figura 10.4.

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