Gottlob Frege (1848 – 1925)

1. El fundamento de la aritmética

1. 1. De la aritmetización del análisis a la logización de la aritmética

1. 1. 1. La matemática en el siglo XIX

Prescindiendo de la gran masa de resultados técnicos, la matemática del siglo XIX se caracteriza por una notable exigencia de rigor, entendiéndolo como una explicitación de los conceptos que integran las distintas teorías y una fundamentación de los procedimientos deductivos de las mismas, junto con una gradual eliminación de la evidencia como instrumento de fundamentación y de aceptación de los resultados matemáticos.

1. 1. 2. La aritmetización

Así, un grupo de matemáticos geniales (que comprende de Cauchy hasta Weierstrass) se comprometió con un programa que otorgara mayor rigor conceptual a las nociones fundamentales del cálculo infinitesimal (límite, infinitésimo, continuidad, infinito matemático, etc.).

Este programa llegó hasta la “aritmetización del análisis”, esto es: primero, a la reducción de los conceptos fundamentales del análisis infinitesimal (límite, derivada, integral, etc.) al estudio de los números reales; y, en segundo lugar, una reducción de los números reales a la teoría de los números naturales (de los que se ocupa la aritmética).

La conclusión a la que llegan estos matemáticos, junto con Cantor y Dedekind es que la teoría de los números reales, junto con todas las construcciones que se pueden obtener partiendo de ella (por ejemplo, la teoría de las funciones de variable real y compleja, el cálculo infinitesimal, etc.) derivan de manera rigurosa del concepto y de las propiedades de los números naturales. Por ello, algunos autores consideraron que el número natural era el material originario que podía servir como fundamento de toda la matemática.

1. 1. 3. La logización

No todos los matemáticos, sin embargo, aceptaron el carácter primitivo de la noción de número natural, y algunos de ellos pensaron que era posible relacionar la idea de número natural con algo todavía más profundo o primigenio. Aquí es donde tienen su punto de partida dos líneas divergentes básicas, con respecto al problema de la fundamentación de la aritmética: una la encabeza Gottlob Frege y la otra, Georg Cantor^[1].

Frege, con sus Fundamentos de la aritmética (1884), quiso relacionar la aritmética con la lógica, reduciendo el concepto de número natural a una combinación de conceptos meramente lógicos. En resumen, lo que Frege se propuso fue obtener “las leyes más simples del numerar” con “medios puramente lógicos”. Así, con Frege, se pasó de la aritmetización del análisis a la logización de la aritmética y se inició la tendencia logicista en la cuestión de la fundamentación de la matemática.

Para Frege, la lógica no es únicamente el fundamento al que se remiten, a través de la aritmética, las diversas teorías matemáticas, sino que también es el instrumento que sirve para erigir de modo correcto y riguroso el edificio mismo de la matemática. Sin embargo, para ambos propósitos se necesitaba una reformulación de la lógica misma ya que el silogismo (lógica aristotélica, hasta ese momento vigente) se revelaba como totalmente inadecuado para el análisis de las inferencias aritméticas.

1. 2. La nueva lógica

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