Guia Nº 1 LOS NÚMEROS REALES

Guia Nº 1

LOS NÚMEROS REALES

El proceso de la conformación de los números reales se ha realizado a través de la historia misma de la matemática, donde han participado una gran cantidad de matemáticos. El sistema de los números reales tiene como elementos la reunión de los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, permitiéndose en dicho conjunto las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división.

Ejemplo de numeros reales:

 Números naturales: {12345678910…}

  Números enteros positivos = {1, 2. 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}

  Números enteros negativos = { -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9}

  Cero: 0

  Números fraccionarios: ½, ¼, 14/35, 2/7

  Números decimales: .25 0.999, 0.625

  Números racionales: .125 y 1/8, .5 y ½, .85 y 17/20

IMPORTANTE:

Con los números reales se pueden realizar todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, por lo cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica, considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta numérica

Conclusion:

Los números reales es la unión de otros dos conjuntos de números, los números racionales y los números irracionales. 
Los números racionales son todos aquellos que se puedes expresar como un cociente de dos números enteros. 
En cambio los números irracionales son los que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, como el número e, pi, raíz cuadrada de 2

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

Haremos un repaso sobre las operaciones básicas en algebra, para ello utilizamos las expresiones algebraicas: “Una expresión algebraica es una combinación de símbolos representativos de números reales, donde usamos números y letras”

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar polinomios, primero necesitas identificar los términos semejantes en los polinomios y luego combinarlos de acuerdo con operaciones correctas. 

RESTA DE POLINOMIOS

Para restar polinomios con más de una variable, puedes aplicar el mismo proceso usado para restar polinomios con una variable. 

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Los polinomios con más de una variable también pueden multiplicarse unos con otros. Usas las mismas técnicas que cuando multiplicas polinomios con una variable

DIVISION DE POLINOMIOS

La cuarta operación aritmética es la división. Los polinomios con más de una variable también pueden dividirse.  Cuando divides monomios con más de una variable, divides los coeficientes y luego divides las variables. Cuando hay exponentes con la misma base, las reglas de los exponentes dicen que puedes dividir al restar los exponentes. 

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LA POTENCIACIÓN

La potenciación es una forma de abreviar una multiplicación de varios factores iguales. En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, “la base y el exponente”, este último se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

EJEMPLO : 2*4 = 2*2*2*2 = 16

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Estas son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia.

Potencia de una potencia

Para resolver la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.
 
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

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Factorización

Un primer acercamiento al concepto de factorización es el concepto de la descomposición en factores primos donde cualquier número natural se puede expresar como el producto de finitos números primos.

FACTOR COMÚN

Esta primera forma de factorizar lo que pretende es obtener el término común a los monomios que componen el polinomio.

EJEMPLO:

Factorizar  [pic 1]

EJEMPLO:

Factorizar  [pic 2]

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS

Este caso de factorización es muy parecido al caso de factor común la diferencia es que en este caso no es necesario que el factor común se encuentre en todos los términos del polinomio ya que se pueden repetir en solo unos cuantos por lo que a estos términos los agrupamos en un paréntesis y realizamos la factorización a estos términos.

Ejemplos:

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
= (x + 2)(m + 3 – 1)

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RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa a la potenciación esta consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

Ejemplo

• [pic 3] = [pic 4] = [pic 5]

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

[pic 6]

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice, da como resultado el radicando.

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RELACIÓN POTENCIAS Y RAÍCES

El producto a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a tiene sus siete factores iguales. Este producto se puede indicar de forma abreviada como 7 a .  7 a se llama potencia, y al factor a, base.  El número de veces que se repite el factor se llama exponente. Partado Relación entre las potencias y las raíces del tema Potencias y raíces con el que el alumno puede aprender a identificar las raíces como potencias de exponente racional, a convertir una potencia de exponente racional en una raíz y a convertir una raíz en una potencia de exponente racional. 

Potencias y raíces (radicales)

Aprenderemos cual es la estructura de un radical. Como se llaman cada una de sus partes. Posibles soluciones de los radicales dependiendo de su índice y su exponente. Relación entre raíces y potencias.

GUIA Nº 7

FACTORIZACIÓN II

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer términos

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