CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES. ACTIVIDADES PROPUESTAS

CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. NÚMEROS REALES

1. Mentalmente decide cuáles de las siguientes fracciones tienen una expresión decimal exacta y cuáles la tienen periódica:

a) 1/9 b) 7/5 c) 9/50 d) 2/25 e) 1/8 f) 3/22

2. Halla la expresión decimal de las fracciones del ejercicio anterior y comprueba si tu deducción era correcta.

3. Calcula la expresión decimal de las fracciones siguientes:

a) 1/5 b) 1/3 c) 5/9 d) 2/25 e) 11/400 1/11

4. Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales exactas y redúcelas, después comprueba con la calculadora si está bien:

a) 8’35; b) 791’297835; c) 0’47

5. Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales periódicas, redúcelas y comprueba que está bien:

a) 9’464646….. b) 91’02545454…. c) 0’9999….. d) 3’267123123123…..

6. ¿Puedes demostrar que 2’99999… es igual a 3? ¿Calcula cuánto vale 1’5999…? Ayuda: Escríbelos en forma de fracción y simplifica.

7. Demuestra que3 7 es irracional.

8. ¿Cuántas cifras puede tener como máximo el periodo de ?

9. ¿Cuántos decimales tiene 1 ?, ¿te atreves a dar una razón?

7 4

2 5

10. Haz la división 999999:7 y después haz 1:7, ¿es casualidad?

11. Ahora divide 999 entre 37 y después 1:37, ¿es casualidad?

12. Escribe 3 números reales que estén entre y 1.

13. Escribe 5 números racionales que estén entre 2 y 1’5.

14. Escribe 5 números irracionales que estén entre 3’14 y π.

15. Representa en la recta numérica los siguientes números:

a) , b) 13 , c) 1’342, d) 2’555555….

4 16. Representa en la recta numérica:

a) 10, b)  6, c) 27 , d)

17. Halla el valor absoluto de los siguientes números:

a) 5 b) 5 c) π

18. Representa las siguientes funciones:

a) f(x) = |x²|

b) f(x) = |x²  1|

c)) f(x) =

19. Representa en la recta real y calcula la distancia entre los números reales siguientes:

a) Dist(5, 9) b) Dist(2’3, 4’5)

c) Dist(1/5, 9/5) d) Dist(3’272727…. , 6’27272727….).

20. Escribe los siguientes intervalos mediante conjuntos y represéntalos en la recta real:

a) [1, 7) b) (3, 5) c) (2, 8] d) (, 6)

21. Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo:

a) 2 < x < 5 b) 4 < x c) 3  x < 6 d) x  7

22. Expresa como intervalo o semirrecta, en forma de conjunto (usando desigualdades) y representa gráficamente: a) Un porcentaje superior al 26 %.

b) Edad inferior o igual a 18 años.

c) Números cuyo cubo sea superior a 8.

d) Números positivos cuya parte entera tiene 3 cifras.

e) Temperatura inferior a 25 ºC.

f) Números para los que existe su raíz cuadrada (es un número real).

g) Números que estén de 5 a una distancia inferior a 4.

23. Expresa en forma de intervalo los siguientes entornos:

a) E(1, 5)

b) E(2, 8/3)

c) E(10, 0’001)

24. Expresa en forma de entorno los siguientes intervalos:

a) (4, 7)

b) (7, 4)

c) (3, 2)

25. ¿Los sueldos superiores a 500 € pero inferiores a 1000 € se pueden poner como intervalo de números reales?

*Pista: 600’222333€ ¿puede ser un sueldo?

26. Copia esta tabla en tu cuaderno y redondea con el número de cifras indicado

Cifras significativas

Número 1 2 3 4

10

1/9

3’7182

42’27

27. Redondea hasta las décimas y halla los errores absoluto y relativo cometidos. 28. Halla una cota del error absoluto en las siguientes aproximaciones:

a) 6’3 b) 562 c) 562’00

29. Una balanza tiene un error inferior o igual a 50 g en sus medidas. Usamos esa balanza para elaborar 5 paquetes de café de medio kilogramo cada uno que son un lote. Determina el peso mínimo y máximo del lote. ¿Cuál es la cota del error absoluto para el lote?

2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES

30. Calcula las siguientes potencias:

a) 25 b) (2 + 1)4 c)  (2x)3

31. Efectúa las siguientes operaciones con potencias:

a) (x + 1) · (x + 1)3 b) (x + 2)3 : (x + 2)4 c) {(x  1)3}4 d) (x + 3) · (x + 3)3

32. Calcula las siguientes operaciones con potencias:

a) 25 · 42 b) (33)3 c) 73 / 70

d) 44/45 e) 55 · 252 f) (73)3

g) 43 / 70 h) 74/75 33. Simplifica:

a2 b3 (2x 1)8 (2x 1) y6  z5  x2 (3x 1)7 (3x 1)5

a) 4 b) 7 c) 8 6 3 d) 0

(ab) (2x 1) y  z  x (3x 1)

3. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES

c) (12 (x1)3 )2

b)

36. Realiza las siguientes operaciones con radicales:

a) b) (

4. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION

37. Escribe bajo un solo radical y simplifica:

38. Calcula y simplifica:

39. Realiza la siguiente operación:

40. Calcula y simplifica:

41. Racionaliza la expresión:

42. Racionaliza:

43. Racionaliza: 5. NOTACION CIENTÍFICA

44. Calcula:

a) (7’83 ·10-5) · (1’84 ·1013) b) (5’2 · 10-4) : (3’2 · 10-6) 45. Efectúa y expresa el resultado en notación científica:

3105  7 104 7'35 104 7

 3'2 10

6 5 3

a) 10  5 10 b) 5 10

46. Realiza las siguientes operaciones y efectúa el resultado en notación científica:

a) (4’3 · 103  7’2 · 105)2 b) (7’8 · 10-7)3

6. LOGARITMOS

47. Copia la tabla adjunta en tu cuaderno y empareja cada logaritmo con su potencia:

25 = 32 log5 1 = 0 20 = 1 52 = 25

51 = 5 log2 2 = 1 50 = 1 log2 32 = 5

21 = 2 log2 1 = 0 log5 5 = 1 log5 25 = 2

24 = 16 log3 81 = 4 log2 16 = 4 34 = 81

48. Calcula utilizando la definición de logaritmo:

a) log225 b) log5 25

49. Calcula utilizando la definición de logaritmo: c) log2241 d) log5530

a) log327 b) log10 100

50. Calcula x utilizando la definición de logaritmo: c) log1/2(1/4) d) log100’0001

a) log264 = x b) log1/2 x = 4

51. Calcula, utilizando la definición de logaritmo: c) logx 25 = 2

a) log2 64 + log2 1/4 – log3 9 – log2

b) log2 1/32 + log3 1/27 – log2 1

52. Desarrolla las expresiones que se indican:

a) ln 2  a3·b2 

b) log

 c4.d 

53. Expresa los logaritmos de los números siguientes en función de log3 = 0’4771212

a) 81 b) 27 c) 59049

54. Simplifica la siguiente expresión: logm 2logt log p logh

EJERCICIOS Y PROBLEMAS:

Números reales

1. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales y pasa a fracción los racionales:

1 1

0; 0’2; 5; 3'72; ; 2'321321...;9'9; 9 ; 4; 3'222; 5'034212121... 7

2. Representa, aproximadamente, en la recta real los números:

0’3; 8; 3 ; 1’2222…; 3’5; 7; ; 3'777... 3. Escribe dos números en las condiciones siguientes:

a) Mayores que 0’12 y menores que 0’13

b) Comprendidos entre 2’35 y 2’36.Comprueba que la diferencia entre estos números y 2’36 es menor que una centésima

4. Dados los intervalos:

A = {x; 10 ≤ x < 1}; B = {x; 1/2 < x ≤ 3} ; C =   (1, 2) a) Represéntalos en la recta real

b) Calcula sus longitudes

c) Calcula: AB, AB, AC, (AC)B, ABC, ABC

5. Calcula x en las siguientes ecuaciones: (Pista: x puede tener dos valores)

a) |x| = 5 b) |x – 4| = 0 c) |3x + 9| = 21

6. Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

a) |x| < 2 b) |x| ≤ 2 c) |x| > 2 d) |x| ≥ 2

7. Halla dos números que disten 4 unidades de 2, y otros dos que disten 2’5 unidades de 3, calcula después la diferencia entre el mayor y el menor de todos estos números.

8. Escribe el intervalo [2, 6] ∩ (2, 9). 9. Escribe el intervalo formado por los números reales x que cumplen |x  8| ≤ 3.

10. Cuál es el error absoluto y el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones:

a) 3 por 1’73 b)  + 1 por 4’1 c) Redondeo a cuatro cifras del número 

Potencias

11. Expresa en forma de potencia:

2 2 7

a) b) t 1 2 d) 27 e) x 8 .y4

c) ( )

t5 z  1 815 x .y

12. Calcula:

2 5 4 2

a) 4 b) 125 c) 625 d) (64 3 )6 e) (8 3 )5

13. Calcula:

(x 1)2 (x 1)3 (2x  3)7 (2x  3)5 (5y 1)6 (5y 1)2 (x 1)4 (x 1)0

a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 (x 1) (2x  3) (5y 1) (x 1)

Radicales

14. Expresa en forma de radical:

1 1 1 1

a) x b) ( m5·n3) c) [(x

...