IMPORTANCIA Y APLICACIONES DEL CÁLCULO EN LA INGENIERÍA ACTUAL

IMPORTANCIA Y APLICACIONES DEL CÁLCULO EN LA INGENIERÍA ACTUAL

RESUMEN

Se presenta en primer lugar las definiciones de rigor de todo o que es límites, derivadas e integrales que son los elementos del cálculo usado ampliamente en ingeniería se estudia las definiciones y los ejemplos en los cuales se aplica en realidad en todas las ramas de la ingeniería, la historia del cálculo desde sus inicios para luego definir claramente lo que son las funciones reales y los limites así como la aplicación de los limites en la ingeniería. Se definen las funciones y se detalla la importancia del cálculo diferencial en la vida diaria, la aplicación del cálculo diferencial en ingeniería. La importancia del cálculo diferencial en la solución de problemas cotidianos, también es importante el cálculo integral en la ingeniería.

INTRODUCCIÓN

Es obligatorio en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial y su uso facilita la comprensión de los fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas.

En esta primera parte del estudio veremos la importancia de la aplicación de los fundamentos básicos de la ingeniería es decir del cálculo diferencial dentro del análisis de estructuras y otros estudios aplicados en la ingeniería civil.

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas. Como principio el Cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

RESULTADOS

¿Cuál es la historia del cálculo?

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el algebra para encontrar el área y las tangentes que son la integración y diferenciación en términos modernos.

Isaac Newton hacia 1660 y Gottfried W. Leibniz hacia 1670 quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas que son la interpretación gráfica del Teorema Fundamental del Cálculo (Manuel Sada Allo).

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, En el siglo XIX se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. La aparición de las computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x.

Límite y continuidad de una función.

Funciones Reales.

Una función de variable real es una correspondencia f que asocia a cada elemento x de un determinado subconjunto de números reales en otro f (x).

Al subconjunto en el que que está definida la función, se denomina Dominio de definición o campo de existencia de la función f, Dom f. Al número x perteneciente al Dom f, se le denomina variable independiente. Al número y asociado por f al valor x se le denomina variable dependiente. La imagen de x se designa por f (x) Luego y= f (x) Al subconjunto en el que está definido el conjunto de los números reales que toma la variable y, se designa por Recorrido o imagen de la función f (Im f ) Luego podemos definir una función real real f definida en un conjunto A y con valores en un conjunto B como f : A → B x → y = f(x)

En ocasiones, solamente indicamos una función por f (x). En este caso, A=B=ℝ

Aplicaciones de los límites en la ingeniería

La aplicación de las funciones límites y continuidad en la vida diaria y para hecho es importante resaltar sus definiciones, para que así tengamos una idea clara en qué momento se hacen presente en nuestras vidas.

A su vez, Los conceptos de límite y continuidad son la piedra clave sobre la que se sustenta la bóveda del Análisis Matemático.

Una función es algo que casi siempre puede asociarse a una gráfica, es decir, a un dibujo en el que hay un par de ejes perpendiculares sobre los que aparece representada algún tipo de línea. Cuando dicha línea presenta un trazo continuo hablamos de una función continua y, en caso contrario, de una función que no es continua. Esta es probablemente la definición más intuitiva que se puede dar de continuidad de una función: una función continua es aquélla que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

¿Qué son las funciones?

La posición de un móvil es función del tiempo, la presión atmosférica es función de la altura, el peso medio de los chicos depende de la edad

¿Cuál es la importancia del cálculo diferencial en la vida diaria?

La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas.

Una vez construido el cálculo la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

En los últimos años El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

El cálculo diferencial, se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc. Los principales elementos que se utilizan él esta rama de las matemáticas, son las funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculo en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar.

¿Cuáles son las principales aplicaciones del cálculo diferencial?

Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:

El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración. El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo: En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin ningún problema.

Ejemplo muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a.

Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = c e a x en donde c es una constante. Como e 0 = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra.

Como a<0, se tiene que e a x 0 cuando x crece, por lo que y 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = c e a x, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente como hace e a x si a>0. Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2 b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa

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