INTEGRACION EN INTERVALOS DESIGUALES

INTEGRACION EN INTERVALOS DESIGUALES

INTRODUCCION

Hasta el momento, las fórmulas de integración numérica se han basado en puntos igualmente espaciados. En la práctica, existen muchos casos en donde esta suposición no se cumple y se debe tratar con diferentes tamaños de segmentos. Por ejemplo, los datos derivados experimentalmente, a menudo, son de este tipo. En estos casos, un método es aplicar la regla trapezoidal a cada uno de los segmentos y sumar los resultados:

Uso de la regla trapezoidal para determinar la integral de datos espaciados irregularmente. Nótese cómo se pueden evaluar los segmentos sombreados con las reglas de Simpson para obtener mayor exactitud.

LA REGLA TRAPEZOIDAL

La regla trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton-

Cotes.

Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(á) y f(b) en la figura 21.4. Recuerde de geometría que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio de las base. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide está sobre su lado

ERROR DE LA REGLA TRAPEZOIDAL

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente podemos incurrir en un error que puede ser sustancial (véase figura 21.6). Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trapezoidal es

Donde ¿¡está en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación (21.6) indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error

REGLA DE SIMPSON 1/3

Así como con la regla trapezoidal, la regla de Simpson se puede mejorar dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura

REGLA DE SIMPSON 3/8

De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se pueden ajustar polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar

Para obtener

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

EJEMPLO

Ejemplo 1.

Calcula la integral , usando la siguiente tabla de datos:

Solución.

En este caso, vemos que podemos aplicar la regla de Simpson de 1/3 en el intervalo , la regla del trapecio en el intervalo y la regla de Simpson de 3/8 en el intervalo . Así, tenemos las siguientes integrales:

Por lo tanto, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores:

Vale la pena comentar que no siempre tiene que suceder que se apliquen exactamente las tres reglas. En realidad, esto depende de cómo se encuentran espaciados los intervalos de la tabla de datos.

ANALISIS DEL ERROR

REGLA F O R M U L A E R R O R D O N D E . . .

Trapecio

...