INTERPOLACION POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS

                                                                                       INTERPOLACION                                                                    HOJA 1

Definición. -Modelo matemático (de truncamiento) que satisface o se cumple para todos los datos dados.

Recordar que este modelo matemático se aplica cuando tenemos la seguridad de que los datos son CONFIABLES (Precisos y exactos).

[pic 1]

MODELOS MATEMATICOS         Interpolación Polinomial de Newton (por diferencias divididas)

     DE INTERPOLACION                Polinomios de Interpolación de Lagrange

INTERPOLACION POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS

El modelo general (basado en la serie de Taylor) es el polinomio (k) de una variable de la forma:

Pk(x)=a0+a1X+ a2X2+ a3X3+ a4X4+……………………….+ akXk

Partiendo de una serie de datos dados { (x0f(x0)), (x1f(x1)),[pic 2]

Dónde:  X=X-X0                             X4=(X-X0)(X-X1)(X-X2)(X-X3)

X2=(X-X0)(X-X1)                             ………………………………………

X3=(X-X0)(X-X1)(X-X2)                   XK=(X-X0)(X-X1)(X-X2)(X-X3)……….(X-XK-I)

Y  a0=f(x0)

Mientras que las { a1,a2,a3,a4,……………………., ak}

Se calculan por diferencias divididas y se representan de la siguiente forma:

a1=F                   a4=F[pic 3][pic 4]

a2=F             ………………………………..[pic 5]

a3=F       ak=F[pic 6][pic 7]

Así el modelo matemático de Interpolación de Orden ´´K´´ de Newton para ´´K+1´´ datos dados es:

Pk(x)=f(x0)+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+a3(x-x0)(x-x1)(x-x3)+……….+ak(x-x0)(x-x1)(x-x3)………..(x-xk-1)

Nota: en la forma de representas las { a1,a2,a3,a4,……………………., ak} los subíndices de la variable x relativos a la primero y ultima posición  nos indican las diferencias que irán en el denominador al determinar las diferencias divididas. Así por ejemplo para   a3=F , el denominador correspondiente será (x0-x3) y para a4=F, el denominador correspondiente será (x0-x4) [pic 8][pic 9]

Ver página 509 del libro de Chapra que les envié.

Según el contenido de esa página tenemos una forma gráfica para calcular las { a1,a2,a3,a4,……………………., ak} en ella se indican como se calculan las diferencias divididas, recordar que en esa simbología el denominador representa la diferencia de la variable ´´x¨ relativas al primer y último elemento, así para F, le corresponde el denominador (x4-x2). [pic 10]

NOTA: En la forma gráfica es muy fácil observar esto, simplemente en el cálculo de cada columna hay que ir

espaciando en uno los valores de la variable ´´x´´.

Grafica de la página 509 del Chapra aumentada para cinco datos en vez de cuatro

Veamos un Ejemplo Ilustrativo:

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