INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON.

[pic 1]

MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB

INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON[pic 2]

DEFINICIÓN

Dada la función f de la cual se conoce su valor en los puntos [pic 3]se llama diferencia de f en los puntos [pic 4]al valor [pic 5]y la cual se calcula recursivamente como sigue:

[pic 6]

INTERPOLACIÓN DE NEWTON

El ajuste de un polinomio de n-ésimo orden con (n+1) puntos es:

[pic 7]

donde los coeficientes [pic 8]se calculan por las diferencias divididas:

En forma equivalente: [pic 9]

[pic 10]

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.

• PRIMERA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA

[pic 11]

• SEGUNDA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA

[pic 12]

• TERCERA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA

[pic 13]

• CUARTA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA

[pic 14]

• QUINTA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA

[pic 15]

• N-ÉSIMA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA

[pic 16]

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes [pic 17]para obtener el polinomio de interpolación de Newton:

[pic 18]Al cual se le llama polinomio de interpolación con diferencias Divididas de Newton.

En forma equivalente se puede expresar como:

[pic 19]

Tabla de diferencias divididas para un polinomio de segundo orden

Tabla de diferencias divididas para un polinomio de tercer orden

Tabla de diferencias divididas para un polinomio de cuarto orden

Tabla de diferencias divididas para un polinomio de quinto orden

PROGRAMA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON EN MATLAB

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%Curso: Métodos numéricos

%Programa: Diferencias Divididas de Newton

%Docente: DR. Soria Quijaite Juan Jesús

function interponewton

fprintf('\n')

x = input('ingrese los valores de x=');

y = input('ingrese los valores de y=');

n=length(x);

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y';

for j=2:n

    for k=j:n;

        %RESULTADOS DE TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS

        D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1))

    end

end

c=D(n,n);

for k=(n-1):-1:1

    c=conv(c,poly(x(k)));

    m=length(c);

    %CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL POLINOMIO DE NEWTON REDUCIDOS

    c(m)=c(m)+D(k,k)

end

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E1) Considere la función real f(x)=Ln(x) en un dominio de [1;8].

1. Usar los nodos x0=1 ; x1=4 ; x2=6 , para construir el polinomio interpolador de Newton de segundo orden.
2. Usar los nodos x0=1 ; x1=4 ; x2=6 ; x3=5 , para construir el polinomio interpolador de Newton de tercer orden.
3.  Usar los nodos x0=1 ; x1=4 ; x2=6 ; x3=5  ; x4=8 ,  para construir el polinomio interpolador de Newton de cuarto orden.
4. Use el polinomio de la parte b) para calcular Ln(2).
5. Use el polinomio de la parte c) para calcular Ln(5).

Resolución

a) Calcular el polinomio de newton de orden 2

Hallando las imágenes de f(x)=Ln(x)

syms x

f=log(x);

y0=subs(f,1)

y1=subs(f,4)

y2=subs(f,6)

ans%

y0 = 0

y1 =1.3863

y2 =1.7918

Luego tenemos la tabla

%COMPILACIÓN DEL PROGRAMA

>> interponewton

ingrese los valores de x=[1,4,6]

ingrese los valores de y=[0,1.3863,1.7918]

ans%

%Tabla de diferencias divididas

D =     0            0              0

...