INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Experimento: Proceso mediante el cual se obtiene un dato(s) u observación(es) ya sea cualitativo(s) o    cuantitativo(s) y se puede clasificar en dos tipos determinístico o probabilístico (estocástico).

Experimento Deterministico: Cuando ya se sabe que dato se va a generar bajo ciertas condiciones ejemplos:

                                    H2O → Agua,  leyes gravitacionales,  leyes de Kepler.

Experimento Estocástico: Cuando se tiene un conjunto de posibles resultados y  no se sabe cuál va a ocurrir.

                                  ej.: Lanzar un dado → ¿Que cara caerá hacia arriba?

                                  Producir un refrigerador → ¿Estará defectuoso? ¿Qué tipo de defecto tiene?

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados cuando se realiza el experimento.

Ejemplos de experimentos y espacios muestrales.

ε1 : Se realiza una encuesta en una muestra de 10 personas para determinar el numero de ellos que prefieren el producto marca X.

S1 = {                                                           }

ε 2 : Se fabrican Refrigeradores con un nuevo diseño hasta fabricar el décimo defectuoso.

S2 = {                                                }

ε 3 : Se selecciona aleatoriamente un envase de un litro de pintura  y se mide su contenido.

S3 = {                                                }

Evento : Cualquier subconjunto del espacio muestral.

ε 1 :                 A={                }        B={                        }        C={                        }

ε 2 :                 A={                }        B={                        }        C={                        }

ε 3 :                 A={                }        B={                        }        C={                        }

Eventos excluyentes: Se dice que el evento [pic 1] y el evento [pic 2] son excluyentes si y solo si  [pic 3]

ε 1  →

ε 3  →

Evento Simple: Es aquel que solo tiene un elemento y se le denota como [pic 4].

ε 2 : E1  →                                E2  →                                E3  →

Ocurrencia de un evento: Se dice que el evento [pic 5] ocurre si y solo si al realizar el experimento el resultado es un elemento de [pic 6].

ε: lanzar un dado legal  y observar el # que cae hacia arriba.

S = {                }        A= {        }        B= {        }        C= {                }        D=φ                E=S

Al lanzar el dado cayo un 3 ¿Que eventos ocurrieron? →

¿De los eventos anteriores cual tiene una mayor posibilidad de ocurrir?

E: Se obtiene una muestra de 5 radiadores de la producción de hoy,  para determinar cuantos  están defectuosos.

S = {                }        A={0}                B={                 }        C={        }        D={        }

¿De los eventos anteriores cual tiene una mayor posibilidad de ocurrir?

Probabilidad de un evento: Es  un # que mide la posibilidad de que el evento [pic 7] ocurra y se denota como[pic 8]. 

Existen tres formas o enfoques para  calcular la probabilidad de un evento.

1.- Probabilidad clásica  o a priori: Supone que cada uno de los elementos en [pic 9] tiene la misma posibilidad de ocurrir (no hay necesidad de estar realizando el experimento), para poder calcular la probabilidad.

[pic 10]

[pic 11]Se lanza un dado y se anota el # que cae hacia arriba.

[pic 12]        [pic 13]        [pic 14]        [pic 15]

2.- Probabilidad basada en la frecuencia relativa o empírica: Supone que el experimento se repite un número muy grande ([pic 16]) de veces y de éstas [pic 17]repeticiones el evento [pic 18] ocurre [pic 19] veces, la probabilidad de [pic 20] es:

[pic 21]

Ejercicio: 1000 recibos sobre consumo de energía, varían en valor monetario, según la siguiente distribución de frecuencias

        $          0-1000        1001-2000        2001-3000        3001-4000        4001-5000

        Frec.            100                      350                          250                         200                     100

Obtenga la probabilidad de que un recibo cualquiera tenga un valor monetario

a) de $2001 a $3000.                                        [pic 22]

b) Mayor a  $1000                                        [pic 23]

c) Mayor a $2000 pero menor a $4001                        [pic 24]

3.- probabilidad Subjetiva: Es la que asigna un individuo basándose en la evidencia disponible, su experiencia y buen juicio.

Ejemplo: La probabilidad de que logremos la producción meta este mes, según nuestro programa de producción y dadas las condiciones actuales es de 0.98.

Ejemplo: Una anciana dice me duelen los huesos, las ranas están croando y el cielo esta nublado existe una probabilidad del 0.9385 de que llueva hoy.

Axiomas de probabilidad

Desde el marco teórico de la probabilidad se deben cumplir los siguientes dos axiomas:

1.   [pic 25],   para todo evento                        2.    [pic 26]

En otras palabras se cumple que una probabilidad es mayor o igual a cero pero menor o igual a 1. Además de que la suma de las probabilidades sobre todo el espacio muestral (S) sea 1. Donde [pic 27] son los eventos simples del espacio muestral.

Teoremas  de las probabilidades de eventos

1. Probabilidad de la unión de   eventos

Dados los eventos A, B y C la probabilidad de la unión es:

[pic 28]

[pic 29]

Este patrón se generaliza para k eventos.

Si los eventos son mutuamente excluyentes

[pic 30]                                [pic 31]

Ejercicio. De la producción de una maquina de una empresa el 8% tienen imperfecciones del tipo A, el 11% tienen imperfecciones del tipo B y el 2%  tiene ambos tipos de imperfecciones. ¿Si se selecciona un pieza al azar cual es la probabilidad de que este defectuosa? Y de que no este defectuosa?

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