INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ANÁLISIS CUANTITATIVO
Enviado por • 18 de Mayo de 2014 • 8.202 Palabras (33 Páginas) • 627 Visitas
CONTENIDO
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ANÁLISIS CUANTITATIVO
SECCIÓN A. Investigación de Operaciones y Análisis Cuantitativo
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría ................................ 1
SECCIÓN B. Práctica de Análisis Cuantitativo.
Presentación de Casos Prácticos.................................................................... 5
PROGRAMACIÓN LINEAL
SECCIÓN A. Teoría General de Programación Lineal y Fase de
Formulación y Construcción de Modelos............................ 7
Prefacio ii Introducción iii
CAPITULO I
I. A
I. B
CAPITULO II
II.A.
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de P. L ..................... 7 Formulación y Construcción de Modelos Lineales. Teoría y Práctica............ 9
II. A.1.
II. A.2.
II. A.2.1. Práctica 9
Caso 1. Modelos Caso 2. Modelos Caso 3. Modelos Caso 4. Modelos Caso 5. Modelos
de valor Caso 6. Modelos
con solución óptima única.................................................. 15 con soluciones óptimas alternas ó múltiples...................... 18 sin solución posible. .......................................................... 20 que presentan solución con valor infinito.......................... 20 con espacio de solución no acotado y solución
finito. ................................................................................ 21 con solución degenerada..................................................... 22
SECCIÓN C. Solución de Modelos Lineales con el Método
Simplex y el Método de Puntos Interiores...................... . 24
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de la solución de modelos de Programación Lineal............................................................... 24 Práctica. Solución de modelos con el Método Simplex............................ 27 Solución con el Método Simplex Regular................................................. 28 Solución con el uso del programa QSB. ..................................................... 29
II.C.2.3. II.C.2.4.
II. D.
II.D.1.
II.D.2. II.D.2.1.
II.D.2.2.
II.D.2.3. II.D.3.
II.E
II.E.1. II.E.2.
II. E.3.
CAPITULO III
III. A.
III. A.1. III.A.2.
III.B. III. B.1.
Solución con el método gráfico en el programa QSB................................ 31 Solución con el Programa Lindo ............................................................... 32
SECCIÓN D. Análisis de sensibilidad de la solución Optima y
Dualidad en Modelos Lineales. ........................................ 33
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de
Análisis de Sensibilidad en Programación Lineal. ............................... 33
Práctica. Análisis de Sensibilidad. Dualidad. 34 Análisis de sensibilidad de la solución cuando cambia un
coeficiente de una variable en la Función Objetivo. ............................... 35 Análisis de sensibilidad cuando cambia el lado derecho de
una restricción........................................................................................... 36 Análisis de sensibilidad cuando aparece una nueva restricción. ........... 36 Dualidad.................................................................................................... 37
SECCIÓN E. Uso de la computadora en Programación Lineal............. 38
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría............................. 38 Práctica. Solución de modelos utilizando el computador........................... 38 Ejemplo 1 con uso del programa Lingo.................................................... 39 Ejemplo 1 con uso del programa Lindo.................................................... 40 Ejemplo 1 con uso del programa What ́sBest.............................................. 41 Ejemplo 1 con uso del programa QSB.................................................... 42 Ejemplo 2 con uso del programa Lindo................................................... 46 Ejemplo 3 con uso del programa Lindo................................................... 50 Problemas para resolver. 53
PROGRAMACIÓN LINEAL DE TRANSPORTE.
Sección A. Programación Lineal de transporte, Formulación y
Construcción de Modelos Lineales de Transporte............... 54
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de
Programación Lineal de Transporte....................................................... 54
Práctica de Formulación y Construcción de Modelos
Lineales de Transporte.............................................................................. 56
Ejemplo 1. Problema en un sistema de transporte.................................... 56 Ejemplo 2. Problema en un sistema de alquiler de vehículos................... 59 Ejemplo 3. Problema en un sistema de subasta de tierras......................... 61
Sección B. Solución de Modelos Lineales de Transporte................... 63
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de la
solución de Modelos de Programación Lineal de Transporte.................... 63
III.B.2
III. C.
III.C.1. III. C.2.
CAPITULO IV
IV. A.
IV.A.1. IV .A.2. IV .A.2.1
IV. B.
. IV .B.1. IV .B.2.
IV .B.2 IV .B.2 IV.B.2
IV.B.
IV .C.1. IV.C. 2. IV.C. 2.1.
IV. D.
IV. D.1. IV. D.2.
Práctica de Solución de Modelos Lineales de Transporte
con el computador................................................................................... 65
Ejemplo 1. Problema en un sistema de transporte................................. 65 Ejemplo 2. Problema en un sistema de publicidad................................. 68 Ejemplo 2. Problema en un sistema de subasta de tierras...................... 72
Sección C. Análisis de sensibilidad de la solución óptima y
dualidad en Programación Lineal de Transporte............... 77
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de
Análisis de Sensibilidad en Programación Lineal..................................... 77
Práctica de Análisis de sensibilidad de la solución y
Dualidad en los Lineales de Transporte................................................. 78
PERT- CPM
Sección A. Técnicas de Redes. PERT-CPM...................................... 85
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de PERT-CPM .. 85 Práctica de Formulación de Modelos, Redes o Diagramas de Flechas..... 87 Elaboración de Redes................................................................................ 89
Sección B. Valores utilizados en PERT_CPM para
la toma de decisiones ......................................................... 90
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría........................... 90 Práctica de Solución de Redes en PERT-CPM....................................... 91 Ejemplo 1. Proyecto de construcción solucionado con el programa QSB. 92 Ejemplo 1. Proyecto de construcción resuelto con el programa LINGO.... 93 Ejemplo 1. Proyecto de construcción solucionado con el
programa What ́Best................................................ 94
Sección C Consideraciones de costo en el manejo de proyectos.............. 97
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría.............................. 97 Práctica de solución de Redes con consideración de costos. ..................... 98 Método de Inspección para acelerar proyectos........................................ 101
Sección D. Aceleración del tiempo de duración de
un proyecto usando el computador..................................... 102
Uso del Programa QSB........................................................................... 102 Uso del Programa Lingo. 106
IV.E.
IV.E.1. IV.E.2.
CAPITULO V
V.A
V. A.1.
V. B. V. B.1.
V. C. V. C.1.
V. C.2. V. C.2.1. V. C.2.2. V. C.2.3 V. C.2.4.
V. D.
V. E.
V. E.1. V. E.2. V. E.3.
Sección E. Consideraciones acerca de probabilidad en PERT- CPM.. 106
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría. ........................ 106 Práctica de PERT-CPM en un proyecto. Uso de probabilidades............ 107
TEORÍA DE COLAS.
Sección A. Estudio de los Sistemas de Espera..................................... 114
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la Teoría de Colas........... 114
Sección B. Práctica de Modelos de Sistemas de Espera.................... 117 Sistemas de espera con los elementos componentes que
lo definen y aspectos que presenta. ........................................................ 117
Sección C. Modelo M/M/1 según la Notación de Kendall................. 119 Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría del
Modelo M/M/1...................................................................................... 119 Valores utilizados para tomar decisiones con el Modelo M/M/1....... 121 Probabilidades en proceso estacionario.................................................. 121
Características Operacionales.................................................................. 121 Valores que pueden obtenerse con información adicional...................... 122 Valores obtenidos de las distribuciones probabilísticas.......................... 123
Sección D. Práctica con Modelo M/M/1 . Toma de decisiones.......... 124 Sección E. Uso de computador en Sistemas de Espera..................... 130
Uso del programa QSB............................................................................ 130 Uso del programa Lingo.......................................................................... 131 Problemas para resolver. ........................................................................ 131
ANEXOS.
Anexo 1. Problemas resueltos.................................................................................. 133 Anexo 2. Tabla PERT 1........................................................................................... 136 Anexo 3. Tabla PERT 2. ......................................................................................... 137 Anexo 4. Manual de Programas. ............................................................................. 138
Bibliografía. ............................................................................................................. 165
P R E FA C I O
Este manual de estudio ha sido elaborado teniendo como guía el Programa de Estudios de la asignatura Investigación de Operaciones de la Escuela de Economía de la Universidad de Carabobo.
Mucho se ha escrito acerca de que el aprendizaje no es accidental sino el resultado directo de los currículos académicos, diseñados por profesores, cátedras y escuelas; y de las creencias acerca de lo que debe ser el aprendizaje. Todo ello influye sobre las experiencias que se viven como estudiante.
Algunos autores han sugerido que el aprendizaje ocurrirá si el material de soporte está cuidadosamente refinado y en secuencia, aunado a un proceso de estímulo al estudiante. Otros ven el aprendizaje como una actividad manejable no por el estímulo, sino por el propio estudiante, quien debe querer aprender y participar en el proceso de aprendizaje, si es que quiere lograr un progreso real. Otros han estado de acuerdo en aplicar la ciencia en la práctica educacional, diciendo que se deben incluir procedimientos y técnicas. No olvidemos a quienes defienden la tesis que el estudiante será exitoso en el aprendizaje si se le da el tiempo suficiente, que él específicamente necesita, para aprender una tarea particular; tampoco a quienes abogan por una práctica individual constante para que el aprendizaje ocurra. Están además quienes consideran también la influencia en el aprendizaje del medio socio-cultural y los aspectos sicológicos.
Es así como la teoría sobre sistemas de instrucción ha tenido y tiene influencia en la práctica educacional.
Es importante que el estudiante reflexione acerca de lo anteriormente expuesto, cuando se encuentre en el proceso de aprendizaje de esta asignatura. En la elaboración de este manual se ha tomado en consideración parte de esta teoría.
Para facilitar el proceso de aprendizaje de Investigación de Operaciones se ha preparado este material de apoyo, de fácil lectura, donde se han considerado puntos esenciales tales como: Los aspectos que deben ser aprendidos, la forma en que deben ser presentados y secuenciados, qué ideas deben enseñarse antes que otras, la forma más práctica de presentar cada concepto; todo esto para que el estudiante logre los objetivos propuestos en la asignatura. ¡Éxito¡
ii
INTRODUCCIÓN
En esta sección se presenta la asignatura al estudiante, haciendo referencia inicial a la forma como está elaborado el manual. Posteriormente se presenta una idea global del material que se va a desarrollar, como objeto de estudio.
La preparación de este manual sigue la secuencia del Programa de la asignatura Investigación de Operaciones de la Escuela de Economía de la Universidad de Carabobo.
Para facilitar al estudiante la teoría y práctica de los diversos temas y técnicas, se ha dividido su contenido en secciones que contienen específicos puntos del análisis cuantitativo a desarrollar.
Cada capítulo, en su inicio, establece el objetivo final que se quiere lograr en su estudio. Sin embargo, para llegar al objetivo final es importante reconocer que deben cumplirse muchos objetivos intermedios durante el aprendizaje de cada materia específica.
En su elaboración, cada punto particular tiene un orden de prioridad de ideas, hasta culminar la presentación total del material contenido en el capítulo. En cada capítulo o sección se numeran los contenidos, para expresar en forma corta cada concepto o punto particular y para poder tener puntos referenciales al realizar ejercicios prácticos de los contenidos. Cumpliendo con el objetivo que se expone, cada capítulo tiene una parte de teoría y otra de práctica en cada sección que así lo amerite.
Esta forma de presentación pretende facilitar la lectura de contenidos y hacer notar la secuencia entre la teoría y la práctica.
El desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando la Investigación de Operaciones como una ciencia administrativa basada en el enfoque científico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. Planear, organizar, dirigir, dotar de personal, controlar, son actividades que el Economista en su ejercicio profesional puede desempeñar, y la Investigación de Operaciones le sirve de ayuda con su método analítico y sistemático. Con base en este enfoque gerencial es que se plantea en el presente manual el estudio de esta ciencia.
El capítulo inicial, es una puerta de entrada al estudio de las diversas técnicas y los respectivos modelos que conforman la asignatura. Se hace énfasis en el análisis cuantitativo que es la base del enfoque científico, punto de partida del proceso que determinará la toma de una decisión. Se hace referencia a los pasos a seguir en ese análisis. Se recuerdan aspectos cualitativos en el proceso de tomar decisiones. Se proporcionan conceptos fundamentales que han de manejarse durante toda la asignatura, porque son parte de cada técnica a estudiar. Dentro de ellos están los conceptos de sistema, modelo y optimización. Se justifica el uso de modelos para tomar decisiones. Luego de la teoría se concluye con la práctica en sistemas específicos.
El capítulo II inicia las técnicas a estudiar, siendo la primera, Programación Lineal. Esta es una de las técnicas más empleadas y se aplica en sistemas con relaciones lineales, para usar los recursos escasos de la mejor manera posible. Es uno de los temas más amplios y ocupa el mayor porcentaje del material de la asignatura. Sus diferentes secciones están dedicadas a conocimientos particulares dentro de la técnica tales como: Definición de la técnica, elaboración del modelo general, algoritmo
iii
de solución, análisis de sensibilidad y teoría de dualidad. Cada una con esbozos de los puntos esenciales de la teoría y con realización de prácticas en sistemas diversos, semejantes a la realidad.
El Capítulo III es una continuación de la técnica de Programación Lineal, con estudio de un modelo particular denominado Programación Lineal de Transporte. Esta técnica fue creada para minimizar los costos de transporte asociados a la distribución de un bien desde diferentes orígenes hasta diferentes destinos. Posteriormente ha sido usada en sistemas diferentes a los de transporte, donde el modelo elaborado cumple con las condiciones del modelo Lineal de Transporte. Incluye secciones semejantes a las de la técnica de Programación Lineal, pero en este caso referidas a este modelo específico.
El Capítulo IV contiene el estudio de técnicas utilizadas para el manejo de proyectos que son: PERT y CPM. Ambas técnicas tienen el objetivo de ahorrar el mayor tiempo posible en la ejecución de proyectos. Didácticamente, su estudio ha sido dividido en tres fases: Planeamiento, Programación y Control. El planeamiento concluye cuando se ha elaborado el modelo o red del proyecto, la programación concluye con la elaboración de programas de tiempo de ejecución de actividades y el control se realiza durante toda la ejecución del proyecto. Se incluye además, en su contenido, algunas consideraciones de costo y de probabilidades. En cada una de sus secciones se esbozan los puntos principales de la teoría y se realizan prácticas de su aplicación en proyectos particulares. Debe recordarse que en el estudio de esta técnica no se pretende enseñar a dividir proyectos particulares en actividades, ya que ello amerita conocimientos específicos en cada campo donde se va a ejecutar un proyecto, que deben tener las personas que van a trabajar con él.
El último capítulo está dedicado al estudio de la Teoría de Colas, con especial mención del modelo M/M/1, llamado así según la notación de Kendall. La Teoría es un estudio de los sistemas de espera y de los diferentes modelos que provee la Investigación de Operaciones para ayudar en la toma de decisiones en este campo. En su parte inicial se incluye la teoría básica para definir los sistemas de espera a través de sus aspectos, las causas que los originan, así como también la clasificación de modelos, formas de solución de los mismos y utilización de los resultados para tomar decisiones que mejoren su forma de operar .
Posteriormente se estudia el modelo M/M1, llamado también modelo popular, aplicando el modelo para tomar decisiones en diversos ambientes.
De esta forma se concluye con el material necesario para cumplir con el contenido programático de la asignatura Investigación de Operaciones en la Escuela de Economía.
iv
CAPITULO I
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES y ANÁLISIS CUANTIT A TIVO
Objetivo: Presentar conceptos y aspectos relevantes del enfoque cuantitativo en la toma de decisiones, los cuales deben proveer al estudiante con un entendimiento básico de las habilidades iniciales necesarias para realizar análisis cuantitativo, con Investigación de Operaciones, mediante la teoría y presentación de casos prácticos.
I.A SECCION A. Investigación de Operaciones y Análisis Cuantitativo
Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría
1. La Investigación de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el método científico para resolver problemas.
2. La Investigación de Operaciones no es sólo un conjunto de herramientas matemáticas. De hecho, es un enfoque sistemático que usa herramientas analíticas para resolver problemas.
3. La Investigación de Operaciones tiene sus raíces en operaciones militares de la Segunda Guerra Mundial; su posterior aplicación en el campo de los negocios, creación de bases teóricas y el desarrollo de la computadora permitió que esta nueva disciplina fuese incluida como asignatura en las universidades a partir de la década de los 50.
4. Entre otras definiciones que se hacen de la Investigación de Operaciones, las de la Sociedad de Investigación de Operaciones de Gran Bretaña y de Estados Unidos, destacan en su definición los aspectos siguientes: a) Su aplicación en sistemas. Se usa para tomar decisiones dentro de sistemas. b) El uso de modelos como su esencia. Para tomar decisiones se modela el sistema c) Su propósito de ayudar a tomar acción, científicamente. Se usa el enfoque científico, el análisis cuantitativo. d) Su casi ilimitada amplitud de aplicaciones. Se usa en negocios, industrias, gobierno y defensa.
5. Tomar decisiones es la tarea esencial de toda persona o grupo que tiene bajo su responsabilidad el funcionamiento de una organización entera o parte de ella.
6. En la toma de decisiones el análisis puede tomar dos formas: cualitativo y cuantitativo.
7. El análisis cualitativo se basa principalmente en el juicio y experiencia de la gerencia, incluye sentimientos intuitivos sobre el problema tratado y es más un arte que una ciencia.
8. El análisis cuantitativo se concentra en hechos cuantitativos o datos asociados con los problemas y desarrolla expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes en ellos.
1
Seguidamente, utilizando métodos cuantitativos, obtiene resultados con los que se hacen recomendaciones basadas en los aspectos cuantitativos del problema.
9. El papel del análisis cuantitativo en la toma de decisiones puede variar dependiendo de la importancia de los factores cualitativos.
10. En algunas situaciones, cuando el problema, el modelo y los insumos permanecen iguales, el análisis cuantitativo puede hacer automática la decisión con los resultados obtenidos al usar métodos cuantitativos. En otros casos, el análisis cuantitativo es sólo una ayuda para tomar la decisión y sus resultados deben ser combinados con información cualitativa.
11. Los modelos matemáticos son la base del análisis cuantitativo.
12. La esencia de la Investigación de Operaciones es el uso de modelos.
13. Un modelo es una representación simplificada de un sistema de la vida real, de una situación o de una realidad.
14. Unsistemaesunconjuntodeelementosqueinteractúanentresí.
15. Un modelo captura características selectas de un sistema, proceso o realidad, y luego las combina en una representación abstracta del original.
16. La Investigación de Operaciones hace uso extensivo del análisis cuantitativo, como parte integral del enfoque científico para tomar decisiones gerenciales.
17. Este análisis es racional y lógico. Consiste en: a) Definir claramente un problema, que previamente se ha determinado que existe, b) Desarrollar un modelo, c) Recolectar los datos de insumo, d) Solucionar el Modelo, e) Validar resultados, Interpretarlos y f) Implementarlos en la ejecución de una decisión.
18. Definir el problema es el paso inicial del análisis cuantitativo, es primordial y muchas veces el paso más difícil. Debe reflejar una representación segura del interés total de sistema. La esencia del problema se debe establecer explícitamente y no de manera ambigua.
19. La definición del problema es un paso crítico y determinante en el éxito o fracaso de cualquier enfoque cuantitativo para tomar decisiones. Si el problema no se ha escrito, no se ha definido.
20. Muchas veces se concluye que el problema debe ser redefinido después de haber realizado varios pasos para tomar una decisión.
21. Al definir el problema se deben identificar alternativas, criterios para evaluar esas alternativas, y seleccionarlas La optimización es un criterio utilizado y es sinónimo de maximización o minimización. La evaluación de las alternativas se hace con modelos
22. La definición de un problema determinará el tipo de modelo a usar.
23. Los modelos pueden ser objeto de diversa clasificación. Tres formas de modelo son: Icónico, Analógico y Matemático. Los icónicos son representaciones a escala (réplicas físicas) de objetos
2
reales. Los analógicos o esquemáticos son modelos físicos en cuanto a la forma pero no son semejantes físicamente al objeto que está siendo modelado ( mapas de carreteras).
24. Los modelos matemáticos (llamados también simbólicos) representan sistemas del mundo real; cuantifican sus variables y las combinan en expresiones y fórmulas matemáticas. Son idealizaciones de problemas de la vida real basados en supuestos claves, estimados y/ó estimaciones estadísticas.
25.Los modelos matemáticos son los que, tradicionalmente, han sido más comúnmente identificados con la Investigación de Operaciones.
26. Los modelos matemáticos, base para el análisis cuantitativo, contienen variables y parámetros. Relacionan variables de decisión (Insumos Controlables) con parámetros o coeficientes fijos (Insumos Incontrolables) y frecuentemente buscan maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones.
27. Formular y construir el modelo son procesos integrados. La formulación es el aspecto lógico conceptual y la construcción es la expresión de las relaciones lógicas en el lenguaje simbólico de la Matemática.
28. La Investigación de Operaciones provee un sinnúmero de modelos para distintos sistemas. Esos modelos o representaciones cuantitativas de la realidad es un aspecto clave que diferencia la toma de decisiones cuantitativas de las tomas de decisión en general.
29. El desarrollo de los modelos, y en general el análisis cuantitativo, involucra a grupos interdisciplinarios.
30. El modelo debe tener solución, ser realista, fácil de entender y de modificar. Además debe permitir que los datos de insumo requeridos puedan ser obtenidos
31. Las principales razones para usar modelos, en lugar de trabajar directamente sobre la realidad, son las siguientes: a) Ahorro de dinero, tiempo u otro bien de valor; b) Evitar riesgos de daños al sistema cuando se está solucionando el problema; c) Para entender mejor el ambiente real cuando éste es muy complicado.
32. La recolección de los datos, se refiere a obtener la información cuantitativa que es necesaria para obtener una solución. Incluye escalas de medidas: nominal, ordinal y ratios.
33. Las fuentes de datos incluyen: a) Reportes de la organización y documentos; b) Muestreos estadísticos; c) Entrevistas con personas empleados o relacionadas con la organización cuyo juicio y experiencia son invalorables y a menudo proporcionan información excelente. Además pueden incluirse otras medidas directas. A menudo los datos son incorrectos o inapropiados porque son recolectados bajo suposiciones que no son apropiadas. A veces no están disponibles y deben ser recogidos por el analista.
34. Dependiendo de datos buenos, se obtendrán buenos resultados; de lo contrario, se obtendrá lo que no se quiere, como resultado de la utilización de un mal insumo.
3
35. La solución de modelos matemáticos, bien documentada en la bibliografía de Investigación de Operaciones, incluye un algoritmo o serie de cálculos específicos que deben realizarse. Cada modelo usa un particular algoritmo. Muchos de ellos contienen pasos repetitivos y por eso se les llama iterativos, esto permite su fácil implementación en la computadora.
36. En análisis cuantitativo la solución óptima es la mejor solución matemática.
37. Las microcomputadoras, al realizar cálculos largos y complejos, han permitido usar las técnicas cuantitativas aún en empresas pequeñas.
38. Los modelos deben ser probados para su validez interna o externa. En sentido interno, las representaciones matemáticas deben tener sentido unas con respecto a las otras. En sentido externo, los resultados obtenidos del modelo deben tener sentido cuando se comparan con la realidad de la situación que es estudiada.
39. Datos pasados pueden ser usados frecuentemente para probar la validez de un modelo matemático.
40. La interpretación de resultados implica examinarlos a la luz de los objetivos propuestos. Se debe determinar las implicaciones de su aplicación. Además, como el modelo es una aproximación de la realidad, debe ser analizada la sensibilidad de la solución a cambios que ocurran en sus insumos. Para ello se cuenta con el Análisis de Sensibilidad o Análisis de Post- optimización.
41. Toma de decisión e implementación consiste en trasladar los resultados obtenidos en detalladas instrucciones de operaciones para la organización. Los procesos de control son necesarios.
42. Muchos grupos de análisis cuantitativo han fracasado en sus esfuerzos porque han fallado en implementar, apropiadamente, una buena solución viable.
43. La solución óptima de un modelo matemático, no es siempre la política que debe ser implementada por la empresa.
44. La decisión final la debe tomar el ser humano, que tiene conocimientos que no se pueden cuantificar exactamente, y que puede ajustar los resultados del análisis para llegar a una decisión conveniente.
45. El análisis cuantitativo no reemplaza el sentido común, es un complemento. Los modelos cuantitativos auxilian a los encargados de tomar decisiones, pero es ir muy lejos decir que lo sustituye. El rol de la experiencia, intuición y juicio del ser humano no puede ser disminuido.
46. Entre los mas usados modelos cuantitativos de Investigación de Operaciones se encuentran los usados en las Técnicas de Programación Lineal, PERT-CPM y los de la Teoría de Colas.
47. Aunque el ritmo de desarrollo de nuevas técnicas ha bajado con relación a los primeros tiempos, en los últimos tiempos ha aumentado la extensión de la amplitud de las áreas donde se aplica y en las magnitudes de los problemas que pueden ser resueltos con las metodologías de Investigación de Operaciones.
4
48. Un punto clave es que la Investigación de Operaciones usa una metodología que está objetiva y claramente articulada. Está construida alrededor de la filosofía de que tal enfoque es superior al que está basado solamente en la subjetividad y opinión de expertos. Por lo tanto conduce a mejores y más consistentes decisiones. Sin embargo no excluye el juicio y razonamiento no cuantificable del ser humano. No es pues un proceso absoluto de toma de decisiones, sino una ayuda para tomar buenas decisiones.
I. B SECCION B. Práctica de Análisis Cuantitativo Presentación de Casos Prácticos.
A continuación, se presentan problemas donde el análisis cuantitativo puede aplicarse.
EJEMPLO 1.
En una empresa productora de cerveza se necesita distribuir el producto desde las dos plantas productoras hasta cinco distribuidores principales.
a) b) c) d) e)
¿Cómo participa la Investigación de Operaciones para resolver este problema? Identifique los insumos incontrolables para los que debe obtenerse información. Identifique las variables de decisión, el objetivo y las restricciones en el modelo.
¿ El modelo a usar sería determinístico o estocástico?
¿Cuáles supuestos se pueden asumir para simplificar el modelo?
RESPUESTAS:
a) Investigación de Operaciones provee un enfoque con análisis cuantitativo que incluye los pasos señalados en el aparte 17 de la teoría. La definición del problema puede incluir un objetivo de minimizar los costos de transporte totales. Debe identificar los aspectos que afectan el logro de ese objetivo, tales como disponibilidades y demanda del producto. Debe continuar el análisis cuantitativo con la determinación de la información necesaria y disponible en ese sistema de transporte.
b) Los costos fijos y variables de transporte del producto, las cantidades disponibles de producto en cada una de las dos plantas y las cantidades demandadas por cada uno de los 5 distribuidores.
c) Las variables de decisión son las cantidades de cerveza a trasportar desde cada planta hasta cada distribuidor. El Objetivo es minimizar los costos totales de transporte y las restricciones son de cantidad de oferta disponible y de demanda a satisfacer.
d) Si la demanda es fluctuante, la producción disponible no es fija y los costos varían de acuerdo a las cantidades a transportar, se le considerará un modelo Estocástico.
5
e) Se puede asumir que para cada específico período de planificación las cantidades de cerveza demandados son constantes en cada distribuidor. Igualmente se puede asumir que la cantidad disponible de cerveza producida, en cada planta, es fija para el período de planificación y que los costos unitarios de transporte son fijos. Si se considera esto, para un período específico de transporte de la cerveza, se trabajará con un modelo Determinístico.
EJEMPLO 2.
El Ministerio de Infraestructura necesita construir 250 unidades habitacionales para resolver parte del problema de los damnificados de una región.
a) ¿Cómo participa la Investigación de Operaciones para ayudar a resolver este problema? b) Identifique los insumos incontrolables para los que debe obtenerse información.
c) ¿ Cuáles son las variables de decisión, el objetivo, las restricciones en el modelo?
d) ¿El modelo a usar sería determinístico o estocástico?
e) ¿Cuáles supuestos se pueden asumir para simplificar el modelo?
f) ¿Qué ventajas tiene trabajar con un modelo en esta situación en comparación a trabajar
sobre el sistema real?
g) ¿Cómo se puede lograr éxito en un análisis cuantitativo?
RESPUEST AS:
a) El analista de Investigación de operaciones puede proveer el análisis cuantitativo para determinar el tiempo mínimo de terminación del proyecto tomando en cuenta los costos y tiempos normales de ejecución de las actividades, así como también los costos y tiempos de aceleración de las actividades del proyecto a desarrollar.
b) Los tiempos de ejecución, normales y acelerados, de las actividades; los costos de acelerar las actividades; los fondos disponibles para la aceleración de actividades; y las precedencias entre una actividad y otra.
c) Las variables de decisión son las fechas de cuando iniciar y finalizar las actividades, y las actividades que pueden ser aceleradas. El objetivo sería realizar el proyecto en el menor tiempo posible. Las restricciones que deben cumplirse son las de no violar el orden en que se han de ejecutar las actividades y no gastar mas de los fondos disponibles para la aceleración de la ejecución.
d) Si los tiempos de ejecución de las actividades, tanto los normales como los acelerados, son inciertos y sujetos a variación; si además los costos de aceleración no son conocidos con certeza y las precedencias entre actividades pueden variar, en el proceso de ejecución del proyecto, debido a cambios en el diseño, se estaría trabajando con un modelo Probabilístico o Estocástico.
e) Se puede asumir que todos los insumos señalados anteriormente son conocidos con certeza en el período de ejecución del proyecto y se trabajará con un modelo Determinístico.
f) Poniendo énfasis en que los directivos principales se involucren en la definición del problema. El analista también debe involucrarse y trabajar con los intereses de la directiva. Deben integrarse con toda la organización porque todo ello tiene impacto sobre la factibilidad de la implementación que es lo que en definitiva se quiere para resolver esta situación o problema. A veces un cambio mayor o un simple análisis del modelo es mejor que la aplicación a ciegas de un modelo cuantitativo.
6
CAPITULO II PROGRAMACIÓN LINEAL
Objetivo: Proponer en forma cuantitativa acciones o decisiones a tomar para optimizar sistemas donde existan recursos escasos y se presenten relaciones lineales, mediante la teoría y práctica de la Técnica de Programación Lineal.
II.A SECCION A. Teoría General de Programación Lineal y Fase de Formulación y Construcción de Modelos.
II.A.1 Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría de Programación Lineal
1- Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten
relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible.
2- La mejor manera de usar los recursos escasos se logra utilizando un modelo del sistema llamado Modelo de Programación Lineal.
3- El Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una Función Objetivo.
4- Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados, son conocidos. Es lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los términos de sus restricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). La contribución de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las variables de decisión pueden aceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar valores fraccionales, sería preferible usar Programación Lineal Entera.
5- La Formulación y Construcción del Modelo Lineal implica: a) Definir claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente o convencionalmente. b) Definir claramente la Función Objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales.
6- Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el mismo período de tiempo.
7- Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a cero. Esto acerca el modelo a la realidad. En los programas de computadora para resolver modelos lineales, ya está incluida esta condición y no hace falta incorporarla manualmente.
7
8-
9-
La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general:
Optimizar C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn
Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión. Son los valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y representan o están relacionadas con una actividad o acción a tomar. Son los únicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.
10- Cj, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Función Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Función Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo.
11- Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente:
a11X1+ a12X2 +a13X3 +a14X4 +.................. + a1nXn ≥ ≤ = b1 a21X1+ a22X2 +a23X3 +a24X4 +.................. + a2nXn ≥ ≤ = b2 a31X1+ a32X2 +a33X3 +a34X4 +.................. + a3nXn ≥ ≤ = b3
.... ..
.... .. am1X1+ am2X2 +am3X3 +am4X4 +...............+ amnXn ≥ ≤ =bm
12- aij, matemáticamente simboliza el coeficiente, en la restricción i, de las variable j.
El subíndice i indica el recurso, requerimiento o condición cuya limitación se está expresando; j indica la variable correspondiente.
Cuando la limitación es de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitación es de un requerimiento o condición i, representan la cantidad del requerimiento o condición i limitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento o condición total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que los coeficientes de las variables en la Función Objetivo.
13- bi, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción i. Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad total de un requerimiento o condición i establecida. Puede existir cualquier cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.
14- Xj ≥ 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre presente como una condición natural en el Modelo Lineal General.
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II.A.2 Formulación y Construcción de Modelos Lineales. Teoría y Práctica.
II.A.2.1 Teoría.
1. El estudiante debe participar practicando el traslado de problemas, que se presentan en sistemas específicos y que ya han sido definidos, a representaciones simplificadas. Por la práctica se obtiene la experiencia. Por lo tanto, debe formular y construir modelos.
2. La Formulación implica describir conceptualmente los elementos componentes del modelo en una situación específica.
3. La Construcción implica expresar en términos matemáticos los elementos definidos en el modelo.
4. Considerando los adelantos realizados para la solución de modelos lineales, la habilidad para formular y construir modelos es cada vez más importante.
II.A.2.2 Práctica.
En cada uno de los enunciados de problemas dados a continuación, debe trasladar la información del sistema a un modelo que lo represente, es decir, Formule y Construya el Modelo Lineal respectivo.
EJEMPLO 1.
Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bolívares 700, cada unidad; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima.
Con base en la teoría señalada en el aparte 5, sección A; para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente:
a)Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente. En la computadora y dependiendo del programa que utilice, dispondrá de un mayor espacio diseñado para escritura que puede utilizar para nombrarlas convencionalmente.
X1: unidades a producir de producto A
X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables X3: unidades a producir de producto C
b)Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal. Objetivo: Maximizar ingresos de venta
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Max 700 Bs. X1UniddeA + 3.500X2 + 7.000X3 Unid de A
Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Bolívares.
c)Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales. Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.
1 hora de trabajo X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 ≤ 100 horas de trabajo Unidad de A
Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:
2X1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 ≤ 200 horas de acabado Unidad de B
Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:
3X1 + 2.5 X2 + 4 unid. de Materia prima X3 (unid. de producto B) ≤ 600 Unidades de Materia prima Unidad de B
De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo del lado derecho de la ecuación.
Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, se resume así el modelo:
EJEMPLO 2.
Max
700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3 Sujeto a:
1X1+ 2X2+3X3 ≤ 100 2X1+3X2+1X3 ≤200 3X1 + 2.5X2 +4X3 ≤600 X1,X2,X3 ≥0
Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bolívares 700; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida. Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo.FormuleyConstruya elmodeloLinealquemaximicelosingresosdelaempresa.
Solución al final del texto.
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EJEMPLO 3.
La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuación.
Restricciones
Audiencia por unidad de publicidad Costo por unidad de publicidad
Uso máximo del medio
Televisión 100.000 $ 2.000
10
Radio 18.000 $ 300 20
Prensa 40.000 $ 600
10
Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a $18.500.
Utilizando el mismo proceso teórico del ejemplo 1, se tiene lo siguiente:
Variables de decisión: X1: unidades de publicidad a contratar en televisión. X2: unidades de publicidad a contratar en radio.
X3: unidades de publicidad a contratar en prensa.
Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad
Max 100.000 personas X1 Unid en t.v + 18.000 X2 + 40.000 X3 Unid en t.v
Restricción 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:
2.000 $ X1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) + 300 X2 + 600 X3 ≤ 18.500 $ unid. public. a contratar en t.v.
Restricciones 2, 3 y 4: Uso máximo de medios para la publicidad:
X1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en t.v X2 ( unidades de publicidad a contratar en radio) ≤ 20 unidades de publicidad a contratar en radio X3 ( unidades de publicidad a contratar en prensa) ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en prensa
Restricción 5: Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total de unidades a contratar: X2 ( unidades de publicidad a contratar en radio) ≤ 0.5 (X1+ X2+ X3)
Finalmente quedará expresada así: - 0.5 X1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 ≤ 0
Restricción 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado
X1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) ≥ 0.10 (X1+ X2+ X3) Finalmente quedará expresada así: 0.9 X1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 ≥ 0
Posteriormente puede resumir el modelo agregándole la restricción de no-negatividad de las variables
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EJEMPLO 4.
El Banco Internacional abre de Lunes a Viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experiencias pasadas sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros señalados en la tabla dada. Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 am a 4 pm, los cinco días, excepto la hora que utilizan para almorzar.
El Banco determina cuándo debe almorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12m y la 1 p.m. o entre la 1 p.m. y las 2 p.m. A los empleados a tiempo completo se les paga Bs.1.800 la hora (incluida la hora de almorzar). También hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada día y se le paga Bs. 1.100 la hora, sin ningún otro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un máximo de 5 cajeros contratados a tiempo parcial. Se desea minimizar los costos de empleados contratados.
a) Variables de decisión:
X1:Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 12m- 1pm X2: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 1pm-2pm
X3 Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 8am X4 Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 9am X5 Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 10am X6 Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 11am X7 Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 12m X8 Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 1pm
Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 1pm trabajarán hasta que cierre y por lo tanto no se necesitan empleados a tiempo parcial que empiecen a las 2 pm o las 3 p.m.
b) Objetivo: Minimizar Costos de contratación
Min 14.400(X1+X2)+3.300(X3+ X4+X5+X6+X7+X8)
c) Restricciones de requerimientos de empleados totales en los ocho horarios señalados ( 8 restricciones) Restricción de empleados en el horario de 8 am - 9 a..m.
X1+ X2 + X3 ≥ 4 Restricción de empleados en el horario de 9 a.m. - 10 a..m.
X1+X2+X3+X4 ≥3
Restricción de empleados en el horario de 10 a.m. - 11 a..m.
Período de tiempo 8-9 a.m. 9- 10a.m. 10- 11a.m. 11a.m.- 12m. 12m-1p.m. 1- 2p.m 2-3p.m 3-4p. Cajeros requeridos 4 3 4 6 5 6 8 8
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 4
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Restricción de empleados en el horario de 11 a.m. - 12 a..m. X1 + X2 + X4 + X5 + X6 ≥ 6
Restricción de empleados en el horario de 12m - 1 p..m. X2+X5+X6+X7 ≥5
Restricción de empleados en el horario de 1 p.m. - 2 p.m. X1+X6+X7+X8 ≥6
Restricción de empleados en el horario de 2 p.m - 3 p.m.
X1+X2+X7+X8 ≥8
Restricción de empleados en el horario de 3 p.m. - 4 p.m.
X1+ X2 + X8 ≥ 8
Restricción de cantidad máxima de 5 cajeros contratados a tiempo parcial:
X3+X4+X5+X6+X7+X8 ≤5
Restricción de no negatividad de las variables: Todas las variables no negativas
NOTA: Para obtener las restricciones puede elaborar un cuadro de doble entrada: Una entrada conteniendo cada Tipo de trabajador y la otra con las horas durante las cuales existen requerimientos específicos; esta última se dividirá en 8 columnas de 8 horarios, al final de las cuales está el total de empleados requeridos en cada uno de ellos.
Definición o Tipo de Empleado
Requerimiento de trabajadores (Cantidad)
8-9a.m 9-10a.m. 10-11a.m 11-12a.m 12-1a.m 1-2p.m 2-3p.m 3-4p.m
Almuerzo 12 –1  X1  X1  X1  X1   X1 X1 X1
Almuerzo 1-2 Parcial desde las 8 Parcial desde las 9 Parcial desde las 10 Parcial desde las 11 Parcial desde las 12 Parcial desde las 1
X2 X2  X2  X2  X2   X2 X2 X3 X3  X3
X4  X4  X4
X5  X5  X5
X6  X6 X6
X7 X7 X7
X8 X8 X8
43465688
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II.B SECCION B. Solución de Modelos Lineales con el Método Gráfico. II. B.1 Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría del método gráfico
1- En el análisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal para resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo.
2- La solución de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las restricciones del mismo y en el cual, si existe solución posible, al menos uno de sus puntos extremos es la solución óptima. Un punto extremo existe en la intersección de, al menos, dos rectas.
3- Elmétodográficoseusapararesolvermodeloslinealescondosvariablesymuestraelconjunto convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s) s extremo(s) que proporciona(n) la solución del modelo.
4- El Método Gráfico permite conocer la base matemática de la solución de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar gráficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamaño. Esto ayuda a la comprensión de la Programación Lineal.
5- El proceso para trabajar con el Método Gráfico sigue los pasos siguientes: a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el área correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente. b) Determinar el área común a todas las restricciones. c) Evaluar la Función Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarán la solución del modelo.
6- Existe un procedimiento alterno al punto c), señalado en el Método Gráfico, para obtener la solución del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario dentro de la región solución. Luego se desplaza paralelamente en la dirección que incremente su valor (si está maximizando) o decrezca su valor (si está minimizando). El punto o los puntos extremos que toque esa Función Objetivo antes de salir totalmente fuera de la región de soluciones posibles determinarán el óptimo, o solución del modelo.
7- Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porque todos los puntos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo.
8- Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un único punto extremo limita el valor de la recta objetivo.
9- Un modelo tiene soluciones óptimas ALTERNAS cuando más de una combinación de variables proporciona el óptimo valor del objetivo. Se reconoce en el gráfico porque más de un punto extremo proporciona el óptimo valor del objetivo o más de un punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarse dentro de la región solución cae paralelamente sobre alguna restricción antes de salir totalmente de la región solución.
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10- Un modelo NO TIENE SOLUCIÓN POSIBLE cuando no hay alguna combinación de variables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el gráfico porque no existe ninguna región común para todas las restricciones.
11- Un modelo tiene SOLUCIÓN CON V ALOR INFINITO cuando hay combinaciones de variables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna combinación que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la omisión de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas restricciones limitarían las variables de decisión a valores factibles. Se reconocen en el gráfico porque el espacio de solución es abierto, no acotado, no limitado y la Función Objetivo puede moverse dentro de esa región hasta el infinito sin que un punto extremo, con valor finito, limite su valor.
12- Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DE VALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito al objetivo pero existe al menos una combinación de variables que le proporciona un valor finito. Se reconocen en el gráfico porque la región de soluciones posibles es abierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor del objetivo.
13- Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones de variables que tienen más de la cantidad normal (una por cada restricción) de variables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo. Más de la cantidad normal de variables (una por cada restricción del modelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de restricciones en el punto óptimo. Se reconocen en el gráfico porque más de dos restricciones cruzan sobre el punto extremo óptimo.
14- Una restricción redundante puede ser removida sin afectar la región solución. Cuando la restricción redundante está sobre el punto extremo óptimo, la solución es Degenerada.
15- Los modelos lineales que son formulados en sistemas cuya solución tiene valor infinito y los que no presentan solución posible son casos que no deben existir en el mundo real. En los modelos con solución degenerada, una restricción redundante en un período de planificación dentro de ese sistema, puede no serlo en otro período posterior, por lo tanto es recomendable tener en cuenta esa consideración.
II.B.2 Práctica de Solución de Modelos con el Método Gráfico CASO 1. MODELOS CON SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA.
El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente. Las variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones. El monto total disponible para invertir es de $80.000. El riesgo es una medida relativa de las dos inversiones alternativas. La acción Tipo 1 es una inversión más riesgosa. Limitando el riesgo total para la cartera, la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo. También se limita el monto de acciones de mayor riesgo.
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Max 3X1+ 5X2 Sujeto a:
25 X1 + 50 X2
0.5 X1 + 0.25 X2 1 X1
(Retorno anual en $)
≤ 80.000 $ de fondos disponibles
≤ 700 riesgo máximo
≤ 1.000 acciones Tipo 1 X1,X2≥ 0
Considerando los apartes 5 y 6 de la teoría, en la sección B, se tiene lo siguiente:
a) Graficar las restricciones:
Restricción 1: Cuando X1 = 0, entonces X2 = 1.600; Cuando X2 = 0, entonces X1 = 3.200 Una los puntos ( 3.200, 0) y ( 0, 1.600 ). El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.
Restricción 2: Cuando X1 = 0, entonces X2 = 2.800; Cuando X2 = 0, entonces X1 = 1.400
Una los puntos ( 1.400, 0) y ( 0, 2.800). El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.
...