Ing. Civil

1. DETERMINACIONDE CONJUNTOSHay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por ComprensiónI) POR EXTENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

2. B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.B = {-9;-7;-5;-3;-1 }II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.Ejemplo:P = { los números dígitos }se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

3. Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “Ejemplo:Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }

Subconjunto. n matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está contenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.

Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este último:

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:

A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ B

B es un superconjunto de A, y se denota B ⊇ A

Otras maneras de decirlo son "A está incluido en B", "B incluye a A", etc.

Ejemplos.

El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto del "conjunto de todas las personas".

{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}

{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )

[editar]Subconjunto propio

Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Estonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B.

(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)

Todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.1

[editar]Conjunto potencia

Artículo principal: Conjunto potencia.

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, digamos |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.

Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

[editar]Propiedades

El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que "todo elemento de ∅ lo es de A" significa lo mismo que "∅ no tiene ningún elemento que no esté en A", y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entoces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.

[editar]Propiedades avanzadas

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A ⊆ A); transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y antisimétrica (A ⊆ B y B ⊆ A implica A no es 'B).

Conjunto universal. Conjunto que contiene todos los elementos posibles para un problema particular en consideración. Símbolo: E. E se define de acuerdo con el alcance del problema bajo estudio.

Por ejemplo, en un problema que sólo involucra números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos los números naturales: {1, 2, 3, 4, . . .}. Cualesquiera otros subconjuntos involucrados, como el conjunto de los números pares {2, 4, 6, . . .}, se toman de este conjunto universal.

Operaciones entre conjunto.

PROF. HÉCTOR R. MALLMA ALVARADO

ARITMÉTICA

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Auntes de clase de aritmética de rimaria 2008

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS

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