Integracion

Módulo 1. Integración (concepto de antiderivada de una función e integral indefinida y Reglas básicas de integración).

Al finalizar el módulo serás capaz de:

• Resolver problemas que involucren el desarrollo de antiderivadas e integrales indefinidas para funciones básicas y compuestas.

• Determinar cuándo es válido utilizar los métodos de integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales.

Tema 1. Integral indefinida

Al finalizar el tema serás capaz de:

• Definir el concepto de antiderivada de una función e integral indefinida.

• Aplicar las técnicas apropiadas para resolver integrales.

En el estudio de las derivadas aprendiste que la derivada de una función representa su razón de cambio; por ejemplo, si la función P representa la población de una región, entonces P´ indica el cambio en la población. Ahora veremos el problema inverso: dada la razón de cambio de una función queremos obtener la función original; ésta se conoce como la antiderivada y al proceso para obtenerla se le llama antidiferenciación o integración.

Una aplicación de las antiderivadas es la de poder relacionar la rapidez de cambio de una función con la función original. Por ejemplo, un administrador que conoce la función de costo marginal podría conocer la función de costo para la fabricación de cierto número de unidades. Otro ejemplo, un científico que conoce la aceleración de un vehículo podría desear conocer su velocidad en un instante dado. La solución a este problema consiste en encontrar una función que sea la antiderivada de la función que se conoce.

1.1 Conceptos de diferencial y antiderivada.

1.2 Integral indefinida.

Utilizaremos letras mayúsculas para representar a las antiderivadas.

Teorema 1: Si F(x) es la antiderivada de f(x) esto lo representaremos simbólicamente de la siguiente forma:

Propiedades de la integral

Las integrales también cumplen con ciertas reglas que se pueden aplicar en el proceso de solución. A estas reglas las llamaremos propiedades.

La propiedad 1: Indica que una constante que multiplica a una función puede salir del símbolo de integración.

La propiedad 2: Indica que si se tiene la integral de una suma o resta de funciones, se puede separar como la suma o resta de la integral de cada función.

1.3 Fórmulas básicas de integración

Integrales de las funciones básicas.

Antiderivada (Integración): es el proceso inverso a la diferenciación. Se utiliza el símbolo para denotarla.

Tema 2. Integración de funciones compuestas (Distinguir entre funciones básicas y compuestas).

Se obtienen con la regla de la cadena. La técnica para su solución se llama sustitución.

En la primera sesión trabajamos con funciones básicas, son aquellas cuyo argumento es solamente la variable x. ¿Qué ocurre si el argumento de una función contiene algo más que la variable x?

2.1 Identificar a las funciones compuestas

Una función compuesta la vamos a poder descomponer en dos funciones, la función interior (por el argumento de la función original) y la función exterior (donde el argumento se reduce solamente a colocar la variable x).

La composición de dos funciones se logra haciendo que una función sea el argumento de la segunda, es por esto que podemos hablar de una función interior y otra exterior.

En la tabla siguiente se muestran cinco funciones compuestas f(x) en la primera fila. Observa que las cinco son funciones exponenciales base 2:

La diferencia radica en que las cinco tienen argumentos diferentes: 3x, -4x, x+5, x cuadrada y raíz de x, respectivamente. Si denotamos por g(x) los argumentos de las cinco funciones y por h(x) la exponencial base 2, podemos expresar la función f(x) como la composición de h(x) y g(x) de la siguiente manera: f(x)=h(g(x)).

Observa que g(x) es la función interior y es el argumento la función exterior h(x).

2.2 Integración de funciones compuestas.

La integral se puede resolver si se eleva el binomio al cuadrado y después integramos cada término:

¿Harías lo mismo para resolver la integral ?

Desarrollar un binomio elevado a la potencia 2 es sencillo. Pero, cuando el binomio se encuentra elevado a una potencia mayor que 3, ya no es tan fácil desarrollarlo. Ahí tendríamos que aplicar el teorema del binomio.

Observa que la función a integrar es una función compuesta. La función interior es y la exterior . Entonces, el problema también se puede resolver si usamos la siguiente sustitución:

Considera que , derivando u respecto a x y luego despejando dx obtenemos que . Si sustituimos u y du en la integral original el integrando quedará solamente en términos de la variable :

Quedando la integral de una función básica en términos de la nueva variable . Después se aplica la fórmula para integrar una función potencia (fórmula 2 de integrales básicas) y se obtiene:

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