REGLAS O FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

REGLAS O FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y cuatro mas correspondientes a las inversas de las derivadas de las seis funciones trigonométricas. Esto ultimo se refiere a que, si la derivada de la tangente es la secante cuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

1)[pic 1]

2)[pic 2]

3)[pic 3]

4)[pic 4]

5)[pic 5]

6)[pic 6]

7)[pic 7]

8)[pic 8]

9) [pic 9]

10)[pic 10]

Aplicación 1

Integrar [pic 11]

Solución:

En este caso el argumento es 9x, o sea que

u= 9x

du=9dx

Para obtener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integral original también debe dividirse entre 9, de modo que:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 18][pic 19][pic 17]

Aplicación 2

Integrar [pic 20]

Solución:

En este caso el argumento es  , o sea que [pic 21]

u=
du=[pic 22][pic 23]

Para tener la diferencia du hay que multiplicar por dos; pero para que no se altere la integral original también debe dividirse entre 2, de modo que:  

[pic 25][pic 24]

                                                     

                                                     

                                                     [pic 28][pic 29][pic 30][pic 26][pic 27]

[pic 32][pic 31]

COMPROBACIÓN:

Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la integral, hágase I=[pic 33]

Entonces

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 37]

[pic 43]

[pic 44]

Aplicación 3

Integrar [pic 45]

Separamos integrando ; empleamos la identidad y realizamos el producto [pic 46][pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Separamos

[pic 51]

                              [pic 52]

Empleamos la fórmula dos para resolver la primera integral; la segunda es una función potencial con u=senx

[pic 53]

Así, el resultado de integral es

[pic 54]

[pic 55]

Aplicación 4

Integrar [pic 56]

Separamos el integrando  empleamos la identidad  y realizamos el producto [pic 57][pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Sustituimos:

[pic 61]

[pic 62]

Empleamos la formula 5 para resolver la primera integral; la segunda es una integral de una función potencial u=tagx

[pic 63]

Así, el resultado de la integral es

[pic 64]

[pic 65]

Aplicación 5

Integrar[pic 66]

El ángulo  calculamos la derivada
[pic 67][pic 68]

Completamos la integral

[pic 69]

Empleamos la fórmula 7 para resolver la integral

[pic 70]

Así, el resultado de la integral es

[pic 72][pic 71]

...