Integrales Triples

5.3 Integrales iteradas dobles y triples.

Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales y .

Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial o la diferencial o viceversa.

La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable , y luego con respecto a la variable . Por motivos de conveniencia y para aumentar la compresión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.

Lo anteriormente definido es una integración iterada doble de manera similar, también puede llevarse a cabo una integración iterada triple. En esta situación, efectuamos la integración tres veces en cada momento con respecto a cada variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes. La notación convencional para la integración triple es,

5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema.

Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes pero no necesarias para la existencia de la integral doble.

El cálculo del valor de una integral doble directamente de la definición es muy tedioso, por lo que existe un teorema para integrales dobles.

Teorema fundamental para integrales dobles. Si la integral doble de f en R existe, y si la región R es de alguno de estos dos tipos: acotada cuya frontera es una curva cerrada simple y rectificable, y cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje x interseca a la frontera de R en solo dos puntos (región R tipo T1) o si cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje y interseca a la frontera de R solo en dos puntos (región R tipo T2). O si R es la unión de un número finito de regiones del tipo T1 o T2, las integrales iteradas se pueden usar para calcular la integral doble

Calculo de áreas:

Consideramos la región R acotada por

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