Guia Integrales Triples

INTEGRALES TRIPLES.

46.

Dada la integral

∫ 1 ∫ x ∫ y

f (x, y, z)

dzdydx, dibujar la regi´on de integraci´on y escribir

0        0        0

la integral de todas las formas posibles.

Soluci´on

z[pic 1][pic 2]

y

Teniendo en cuenta la gr´afica adjunta, si D1, D2  y D3  son las proyecciones sobre los tres planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:

∫∫D1

∫∫D2

∫∫D3

dxdy dxdz dydz

y

f dz        =[pic 3]

0[pic 4]

x

f dy        =

z[pic 5]

1

f dx =

y

1        x

dx        dy[pic 6][pic 7]

0        0[pic 8][pic 9]

1        1

dz        dx

0        z[pic 10][pic 11]

1        y

dy        dz

0        0

y

f dz =[pic 12]

0[pic 13]

x

f dy =

z[pic 14]

1

f dx =

y

1        1

dy        dx[pic 15][pic 16]

0        y[pic 17][pic 18]

1        x

dx        dz

0        0[pic 19][pic 20]

1        1

dz        dy

0        z

y

f dz,[pic 21]

0[pic 22]

x

f dy,

z[pic 23]

1

f dx.

y

[pic 24]

1. Calcular las siguientes integrales triples:

i) ∫∫∫

(x2 + y2) dxdydz,  donde  V   est´a  limitado  por  las  superficies  x2 + y2  =  2z,

z = 2.[pic 25]

ii) ∫∫∫

(1 +z2) dxdydz, siendo W  la regi´on limitada por 2az = x2 +y2, x2 +y2 −z2 =

a2, z = 0.[pic 26]

Soluci´on

1. La regi´on de integraci´on es el interior del paraboloide limitado por el plano z = 2.

z

y[pic 27]

x

Como la proyecci´on de dicha regi´on sobre el plano z  = 0 es el c´ırculo C  : x2 + y2        4, la integral triple se puede descomponer entonces como[pic 28]

I = ∫∫[pic 29]

dxdy

2

(x2+y2)/2[pic 30]

(x2

+ y2)

dz.

Al escribir la integral en coordenadas cil´ındricas, se obtiene:

2π[pic 31][pic 32]

I        dv

0

2

u du[pic 33]

0

2

u2/2[pic 34]

u2 dz

= 2π

2

u3 (2[pic 35][pic 36]

0

— u2/2) du

= 16π .

3

1. La intersecci´on del paraboloide 2az  = x2 + y2  con el hiperboloide x2 + y2     z2  = a2 da la circunferencia x2 + y2 = 2a2 situada en el plano z = a. Esto indica que ambas superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi´on de integraci´on est´a limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano z  = 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la regi´on de integraci´on).[pic 37]

z[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

y

Debemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (x, y) est´a en el c´ırculo de centro

...