Integrales

Área entre dos curvas

En ocasiones el proceso implica un poco más de trabajo y sobre todo, de conocimientos previos respecto a graficación e intersecciones de funciones.

Por ejemplo, si se quiere saber el área entre dos curvas,  y , necesitaremos conocer primero sus intersecciones y sus gráficas para saber cuál está por arriba y cuál por debajo, y finalmente ubicar esto en el siguiente proceso.

Es decir,, siendo a y b las intersecciones, sólo basta restar a la función que se localiza <<arriba>> la función que se localiza <<abajo>> y realizar el proceso que ya se describió anteriormente.

Ejemplo:

Determinar el área limitada por las funciones  y .

Debemos recordad que , por lo que las funciones se pueden reescribir como  y 



Factorizando



Al graficar las funciones tenemos que:

Y la integral es:





Ejemplo: Calcular el área de las dos funciones.

 

Calculo de la longitud de arco.

Podemos calcular la longitud de un segmento de curva llamado arco, el cual variará según la función que se esté analizando y el intervalo en que se analiza. La longitud se puede calcular a través de:

Obtener la longitud de la gráfica de  del origen (0,0) al punto (1,4)











Calcular la longitud de arco de la curva  entre  y 

Calculo de Volúmenes de Solido de Revolución

Calculo de Área del Solido de Revolución





Ejemplo: Calcular el área de la superficie de revolución formada al hacer girar la gráfica de la función  entorno al eje x en el intervalo cerrados [0,2].













Determinar el área generada al girar de la gráfica de en el intervalo cerrado [0,2] alrededor del eje “y”.

Calculo de Volúmenes de Solido de Revolución





Calcular el volumen del solido en revolución generado por la rotación de la recta,  limitada por las coordenadas  y  entorno al eje x.



Calcular el volumen del solido en revolución generado por la rotación dela parábola cúbica,  limitada por las coordenadas  y  entorno al eje y.

Calculo

...