Aplicaciones de las integrales dobles y triples
Luis Enrique Betancourt PerezTrabajo28 de Agosto de 2016
4.372 Palabras (18 Páginas)931 Visitas
República Bolivariana De Venezuela
Universidad Experimental Politécnica
“Antonio José De Sucre”
Matemáticas III
Aplicaciones de las integrales dobles y triples
Profesora: Integrantes:
Odilis López Carmen Moreno
Gonzalo Cadenas
Jaime Oswaldo
Juan De Jesús
Luis Betancourt
Orianna Castro
Sergio Torcat
Puerto Ordaz 16/06/2016
Aplicaciones de las integrales dobles y triples
1) Masa de una lámina de densidad variable.
Supóngase que se tiene una lámina cuya forma es la de una región cerrada R del plano . Sea la medida de la densidad superficial de la lámina en cualquier punto de R donde es continua en R. para calcular la masa total de la lámina se procede como sigue. Sea una partición de R en n rectángulos. Si ) es cualquier punto del i-ésimo rectángulo que tiene área unidades cuadradas, entonces una aproximación de la medida de la masa total del i-ésimo rectángulo es , y la medida de la masa total de la lámina esta aproximada por:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
[pic 9]
Al tomar el límite de la suma superior, conforme la norma de tiende a cero, la medida M de la masa de la lámina puede expresarse como:[pic 10]
[pic 11]
Formula (1)
Ejemplo 1: una lámina cuya forma es la de un triángulo rectángulo isósceles tiene una densidad superficial que varía de acuerdo al cuadrado de la distancia a partir del vértice del ángulo recto. Si la masa se mide en kilogramos y la distancia en metros, calcule la masa.
Tomando los ejes coordenados de modo que el vértice del ángulo recto este en el origen y los catetos de longitud “a” queden sobre los ejes coordenados (observe figura 1).
[pic 12]
Figura 1
Sea kilogramos por metro cuadrado la densidad superficial de la lámina en el punto . Entonces ), donde es una contante. Por lo tanto, si M kilogramos es la masa de la lámina, se tiene de (1):[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
2) Momentos y centros de masa de una lámina plana de densidad variable
La medida del momento de masa del i-ésimo rectángulo con respecto al eje x esta aproximada por . Entonces la suma de las medidas de los momentos de masa con respecto al eje x de los n rectángulos será aproximada por la suma de n términos de esto. La máxima medida MX del momento de masa con respecto al eje x de la lámina completa está dada por:[pic 20]
[pic 21]
De manera análoga, la medida MY de su momento de masa con respecto al eje y está determinada por:
[pic 22]
Formula (2)
Con las integrales dobles se puede determinar el centro de masa de una lámina homogénea o no homogénea. El centro de masa de la lámina se denota por el punto donde:[pic 23]
Y [pic 24][pic 25]
Ejemplo 2: partiendo del ejemplo 1, se procede a calcular el centro de masa de la lámina.
Observe que, debido a la simetría, este debe estar sobre la recta . Por lo tanto, si se obtiene , también se obtendrá . De (2):[pic 26][pic 27][pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Como , entonces ; y debido a que , se obtiene .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]
El centro de masa se encuentra en el punto .[pic 36][pic 37]
3) Momento de inercia
El momento de inercia también llamado segundo momento de la lámina es una medición de la resistencia al cambio en el movimiento de rotación. Para llegar a la definición de momento de inercia de una lámina, primero considere una partícula de masa (kilogramos) cuya distancia perpendicular desde un eje es (metros). El momento de inercia de la partícula con respecto al eje se define como (kilogramos–metro cuadrado). Entonces el momento de inercia de un sistema de n partículas respecto al eje es la suma de los momentos de inercia de todas las partículas. Estos es, si la i-ésima partícula tiene de masa (kilogramos) y se encuentra en una distancia (metros) del eje, entonces (kilogramos–metro cuadrado) es el momento de inercia respecto al eje, donde [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
[pic 44]
4) Momento de inercia respecto a un eje
Suponga que se tiene una lámina que ocupa una región en el plano tal que la densidad superficial en el punto () tiene medida , donde es continua en . Entonces la medida del momento de inercia de la lámina con respecto al eje , denotado por , está determinada por[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
De manera similar, la medida del momento de inercia de la lamina con respecto al eje , denotado por , esta dad por [pic 55][pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
Ejemplo.
Un alambre recto homogéneo tienes una densidad lineal constante de k kilogramos por metro. Calcule el momento de inercia del alambre con respecto al alambre que pasa por uno de sus extremos.
Solución. Suponga que la longitud del alambre es de a metros, y que se extiende a lo largo del eje x a partir del origen. Se determinara el momento de inercia del alambre con respecto al eje y. divida el alambre en n segmentos de modo que la longitud del i.ésimo segmento es metros. Entonces, la masa del i-ésimo segmento es kilogramos. Suponga que la masa del i-ésimo se concentra en un punto , donde . La medida del momento de inercia del i-ésimo segmento con respecto al eje y se encuentra entre y y esta aproximado por . Si el momento de inercia del alambre con respecto al eje y es I y kilogramos-metro cuadrado, entonces [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
Conclusión: el momento de inercia es .[pic 69][pic 70]
5) Definición de momento polar de inercia
Suponga que se tiene una lámina que ocupa una región R del plano xy tal que la densidad superficial en el punto (x, y) tiene medida ρ(x, y), donde ρ es continuo en R. Entonces la media del momento polar de inercia denotado por , está definida por:[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
Ejemplo:
Una lámina rectangular homogénea tiene una densidad superficial constante de k. calcule el momento de inercia de la lámina con respecto a una esquina.
...