INTERPOLACION NUMERICA
Enviado por jairomeneses1996 • 24 de Marzo de 2020 • Ensayos • 3.655 Palabras (15 Páginas) • 142 Visitas
Lino Alvarez - Aurea Martinez ———————————— METODOS NUMERICOS
TEMA 5: INTERPOLACION NUMERICA
EL PROBLEMA GENERAL DE INTER- POLACION
En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una funci´on desconocida o dif´ıcil de manejar, y nos interesar´ıa sustituirla por otra m´as sen- cilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolaci´on polin´omica que introduciremos en este tema de forma abstracta:
El Problema General de Interpolaci´on (P.G.I.) se plantea de la siguiente manera:
Sea L un espacio vectorial de dimensi´on N sobre R.
Sean F1, . . . , FN ∈ L∗, esto es, N aplicaciones lineales
Fi : L −→ R, i = 1, . . . , N.
Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, encontrar f ∈ L tal que:
Fi(f ) = wi, ∀i = 1, . . . , N.
Teorema 1 .- (Existencia y unicidad de soluci´on del P.G.I.)
Son equivalentes:
- Existe un
u´nico elemento f ∈ L tal que
Fi(f ) = wi, ∀i = 1, . . . , N.
- 0 es el
u´nico elemento de L tal que
Fi(f ) = 0, ∀i = 1, . . . , N.
- Para cualquier base {f1, . . . , fN } de L se tiene que det(Fi(fj)) ƒ= 0.
- Existe, al menos, una base {f1, . . . , fN } de L tal que det(Fi(fj)) ƒ= 0.
- {F1, . . . , FN } son linealmente independientes en
L∗. (Y, por tanto, son base de L∗)
En caso de que el P.G.I. tenga soluci´on u´nica, esta puede caracterizarse mediante el siguiente resultado:
Teorema 2 .- (Representaci´on de Lagrange)
Sea L un espacio vectorial de dimensi´on N sobre R.
Sea {F1, . . . , FN } una base de L∗.
Sea {f1∗, . . . , fN∗ } su base dual, es decir:
Fi(fj∗) = δij, ∀i, j = 1, . . . , N.
Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, el
f ∈ L tal que:
u´nico elemento
Fi(f ) = wi, ∀i = 1, . . . , N
se escribe de la forma:
f = iΣ=1 wifi∗.[pic 1]
Casos particulares:
- Interpolaci´on de LAGRANGE:
Sean x0, x1, . . . , xn, (n +1) puntos distintos de R. Sean w0, w1, . . . , wn, (n + 1) valores reales arbitrarios. En- tonces existe un u´nico polinomio P (x) de grado ≤ n tal que
P (xi) = wi, ∀i = 0, 1, . . . , n.
Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:
L = Pn(R) =< {1, x. . . . , xn} >, N = n + 1,
Fi : p ∈ Pn(R) → Fi(p) = p(xi) ∈ R, i = 0, . . . , n.
(El sistema {F0, . . . , Fn} una base porque el determi- nante resultante al aplicarlo a la base {1, x. . . . , xn} es no nulo).
Al polinomio P (x) se le llama polinomio de interpo- laci´on de Lagrange de grado n en los nodos x0, . . . , xn.
La base dual, que denominaremos {l0, . . . , ln}, viene dada por:
l (x) = (x − x0) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)[pic 2][pic 3]
...