Intervalo De Una Proporcion

8.6.2 Intervalo para una proporción

Sean . Si queremos estimar el parámetro p, la manera más natural de hacerlo consiste en definir la suma de estas --lo que nos proporciona una distribución Binomial (página ):

y tomar como estimador suyo la v.a.

Es decir, tomamos como estimación de p la proporción de éxitos obtenidos en las n pruebas8.1, .

La distribución del número de éxitos es binomial, y puede ser aproximada a la normal cuando el tamaño de la muestra n es grande, y p no es una cantidad muy cercana a cero o uno:

El estimador no es más que un cambio de escala de X, por tanto

Esta expresión presenta dificultades para el cálculo, siendo más cómodo sustituirla por la siguiente aproximación:

Para encontrar el intervalo de confianza al nivel de significación para p se considera el intervalo que hace que la distribución de deje la probabilidad fuera del mismo. Es decir, se considera el intervalo cuyos extremos son los cuantiles y . Así se puede afirmar con una confianza de que:

Esto se resume en la siguiente expresión:

con una confianza de

Figura: Intervalo de confianza para una proporción.

8.6.2.1 Ejemplo

Se quiere estimar el resultado de un referéndum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n=100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra (suponemos que no hay indecisos para simplificar el problema a una variable dicotómica). Con un nivel de significación del 5%, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.

Solución: Dada una persona cualquiera (i) de la población, el resultado de su voto es una variable dicotómica:

El parámetro a estimar en un intervalo de confianza con es p, y tenemos sobre una muestra de tamaño n=100, la siguiente estimación puntual de p:

Sabemos que

En la práctica el error que se comete no es muy grande si tomamos algo más simple como

Así el intervalo de confianza buscado lo calculamos como se indica en la Figura 8.11:

Por tanto, tenemos con esa muestra un error aproximado de 9,3 puntos al nivel de confianza del 95%.

Figura: Región a partir de la cual se realiza una estimación confidencial para una proporción, con una confianza del 95%.

III. Intervalo de Confianza para una Proporción.

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.)

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:

Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

Ejemplo: 
En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región

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