INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCION

Intervalo de confianza para una proporción de la población.- La teoría para determinar un estimador puntual y un estimador de intervalo para una proporción de población se asemeja mucho a los valores calculados a partir de la información de muestreo.

Una estimación puntual para una proporción poblacional se obtiene dividiendo el número de éxitos en la muestra entre el número total muestreado. Supóngase que 50 de 200 personas muestreadas afirman que prefieren un nuevo refresco que probaron, en comparación con el que consumen habitualmente. La estimación de la proporción de la población que está a favor de la nueva bebida es de 0.25 que se obtiene dividiendo 50/ 200.

Observese que una proporción se basa en un conteo del número de éxitos con respecto al número total muestreado.

Intervalo de confianza para una proporción de una población =       p +- z σp[pic 1][pic 2]

donde  σp  es el error estandar de la propoción:[pic 3]

σp  =     p(1-p)     [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

                 n

Por lo tanto el intervalo de confianza se establece mediante:

p +- z   p(1-p)     [pic 8][pic 9]

                n[pic 10]

donde:

p es la proporción muestral

z es el valor z del grado de confianza seleccionado

n es el tamaño de la muestra

Ejemplo 1.- Supóngase que 1600 de 2000 trabajadores sindicalizados que se muestrean dijeron que planean poner a votación una propuesta para unirse a una federación. Si se utiliza un nivel de confianza del 0.95 cuál es la estimación de intervalo para la proporción poblacional?

Determinando p = 1600/ 2000 = 0.80

p +- z   p(1-p)  =  0.80 +- 1.96   0.80(1-0.80)  = 0.80 +- 1.96    0.00008   [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

                n                                          2000[pic 20][pic 21]

= 0.80 +- 0.0175

Por lo tanto el intervalo de confianza  para la proporción de la población queda  0.782 y 0.818

Los límites de confianza son 78.2% y 81.8% (se expresan en porcentajes pues la proporción está determinada así)

Ejemplo 2.- Se realizó una investigación de mercado para estimar la proporción de amas de casa que pueden reconocer la marca de una limpiador con base en la forma y el color del recipiente. De las 1400 personas encuestadas, 420 pudieron identificar la marca del producto.

a) Si se utiliza el grado de confianza de 0.99, en que intervalo se encuentra la proporción de la población?

b) Cuales son los límites de confianza?

a)

Determinando p = 420/ 1400 = 0.30

p +- z   p(1-p)  =  0.30 +- 2.58   0.30(1-0.30)  = 0.30 +- 2.58    0.00015  [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

                n                                          1400[pic 31][pic 32]

= 0.30 +- 0.0315

Por lo tanto el intervalo de confianza  para la proporción de la población queda = 0.268 y 0.331

b) 26.8% y 33.1%

3.- Una cadena de televisión planea sustituir uno de sus programas que se transmite en horario estelar, con una nuevo programa de comedia dirigido al público familiar, antes de que se tome una decisión final, se elige una muestra aleatoria de 400 televidentes que acostumbran ver la televisión durante dicho horario. Después de ver el nuevo programa de comedia , 250 de las personas indicaron que sí lo verían.

...