Intervalo

Intervalo (matemática)

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Un intervalo (del latín intervallum) es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real \R, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Índice [ocultar]

1 Caracterización

2 Notación

2.1 Intervalo abierto

2.2 Intervalo cerrado

2.3 Intervalo semiabierto

2.4 Intervalo infinito

2.5 Operaciones con intervalos

2.6 Entorno simétrico

2.7 Entorno reducido

3 Nota

4 Ejemplos gráficos

5 Clasificación

6 Propiedades

7 Aritmética de intervalos

8 Generalización

9 Véase también

10 Referencias

Caracterización[editar • editar fuente]

El intervalo real I\ es la parte de \R que verifica la siguiente propiedad:

Si x\ e y\ pertenecen a I\ con x \le y , entonces para todo z\ tal que x \le z \le y\ , se tiene que z\ pertenece a I\

Notación[editar • editar fuente]

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto[editar • editar fuente]

Intervalo real 01.svg

No incluye los extremos.

(a,b)\ o bien ]a,b[\

Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

I = (a,b), \quad

\forall x \in I: \quad a < x < b

En la definición de límite de una función real se considera como dominio un intervalo abierto.

En la topología usual de la recta ( o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]1 .

Intervalo cerrado[editar • editar fuente]

Intervalo real 04.svg

Sí incluye los extremos.

Que se indica: [a,b]\

Notación conjuntista o en términos de desigualdades

I = [a,b], \quad

\forall x \in I: \quad a \le x \le b

Intervalo semiabierto[editar • editar fuente]

Incluye únicamente uno de los extremos.

Intervalo real 03.svg

Con la notación (a,b]\ o bien ]a,b]\ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (a,b], \quad

\forall x \in I: \quad a < x \le b

Intervalo real 02.svg

Y con la notación [a,b)\ o bien [a,b[\ ,

En notación conjuntista:

I = [a,b), \quad

\forall x \in I: \quad a \le x < b

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentes operadores como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. 2 .

Intervalo infinito[editar • editar fuente]

Incluye un extremos e infinito por la derecha.

Intervalo real 06.svg

Con la notación [a,\infty)\ indicamos.

En notación conjuntista:

I = [a,\infty), \quad

\forall x \in I: \quad a \le x

Sin incluir el extremo:

Intervalo real 05.svg

Y con la notación (a,\infty) ,

I = (a,\infty), \quad

\forall x \in I: \quad a < x

Incluye un extremos e infinito por la izquierda.

Intervalo real 08.svg

Con la notación (-\infty, a]\ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (-\infty, a], \quad

\forall x \in I: \quad x \le a

Sin incluir el extremo:

Intervalo real 07.svg

Y con la notación (-\infty,a) ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,a), \quad

\forall x \in I: \quad x < a

Para todo valor real:

Intervalo real 09.svg

Y con la notación (-\infty,\infty) ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,\infty), \quad

\forall x \in R

Operaciones con intervalos[editar • editar fuente]

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

A =

\{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

B =

\{ x , \; x \in R : \quad 9 < x \}

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

Intervalo real 20.svg

El conjunto unión de A y B sería:

A \cup B =

\{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \lor \; 9 < x \}

O también se puede anotar:

x \in

(-\infty, 4) \cup (9, \infty)

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

Intervalo real 21.svg

El conjunto intersección de A y B no existe:

A \cap B =

\{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \land \; 9 < x \}

porque A y B no tienen puntos en común.

A \cap B =

\varnothing

Definido el conjunto C:

C =

\{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 15 \}

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

Intervalo real 23.svg

El conjunto intersección de A y C es:

A \cap C =

\{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 4 \}

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico[editar • editar fuente]

Artículo principal: Entorno (matemática).

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

Intervalo real 10.svg

Con la notación E(a,r)\ indicamos.

I = E(a,r), \quad

\forall x \in I: \quad a-r < x < a+r

Entorno reducido[editar • editar fuente]

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

Intervalo real 11.svg

Con la notación E^{\star}(a,r)\ indicamos.

I = E^{\star}(a,r), \quad

\forall x \in I: \quad x \in E(a,r) \; - \; \{ a \}

Nota[editar • editar fuente]

Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.

(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.

[a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.

Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación (a,b)\ , denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.

Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito (\infty) para indicar que no hay cota.

Ejemplos gráficos[editar • editar fuente]

Función cuadrática restringida a un intervalo fijado.

Transformación lineal de intervalos.

Transformación lineal de intervalos.

Línea numérica.

Clasificación[editar • editar fuente]

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción

[a, b] \, a \le x \le b b-a \, Intervalo cerrado de longitud finita.

[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \! a \le x < b\! b-a \, Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).

]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \! a < x \le b b-a \, Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).

]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \! a<x<b \! b-a \, Intervalo abierto.

]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \! x < b \! \infty Intervalo semiabierto.

]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \! x \le b \! \infty Intervalo semiabierto.

[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \! x \ge a \! \infty Intervalo semiabierto.

]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \! x > a \! \infty Intervalo semiabierto.

]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \! x \in \mathbb{R} \! \infty Intervalo a la vez abierto y cerrado.

\{ a \} \! x=a \! 0 \! Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).

\{\} = \emptyset\! x no existe Sin longitud. Conjunto vacío.

Propiedades[editar • editar fuente]

La intersección de intervalos de \R es también un intervalo.

La unión de intervalos de \R no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).

Las

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