Introducción a métodos numéricos
Juvenal Tordocillo PuchucApuntes5 de Junio de 2023
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[pic 1] | UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA | Versión: 01 |
LABORATORIO Nº 2 DIFERENCIACIÓN NUMERICA | 02 | |
Escuela: FISICA | Docente: Juvenal Tordocillo Puchuc | METODOS COMPUTACIONALES DE LA FISICA |
- OBJETIVOS:
[pic 2]
- FUNDAMENTO
Mediante el proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este requiere alguna forma de aproximación.
EXPANSIÓN EN SERIE DE TAYLOR
Sea una función definida en el intervalo que tiene hasta derivada, entonces la expansión de usando series de Taylor alrededor del punto será:[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
[pic 8] | (1) |
O expresado de otra forma:
[pic 9] | (2) |
DIFERENCIAS PROGRESIVAS[pic 10]
[pic 11]
Considerando la ecuación (1) con y , tenemos:[pic 12][pic 13]
[pic 14] | (3) |
[pic 15] | (4) |
En este caso, es la aproximación de mediante diferencias progresivas, es decir, de primer orden, o sea O (h). [pic 16]
[pic 17] | |
[pic 18] | |
[pic 19] | (5) |
A esta expresión se le conoce DIFERENCIAS PROGRESIVAS.
ALGORITMO
Ingresar: h, x0, N Paso 1: [pic 20] [pic 21] h=h/2 x0= x0+h Paso 2: Mostrar: I,h, Der, x0 Paso 3: FIN (paso 1) |
Actividad 01: Implementar el algoritmo de diferencias progresivas para la siguiente expresión:
[pic 22] |
- Encontrar, la derivada de la siguiente función en x=0.5 , h=0.2 y N=10.
- Graficar el valor de x0 versus Der. En el mismo gráfico debe graficar la derivada analítica de la función. Explicar el gráfico.
DIFERENCIAS REGRESIVAS [pic 23]
[pic 24]
[pic 25] | (6) |
[pic 26] | (7) |
En este caso es la aproximación de mediante diferencias regresivas es de primer orden, o sea O (h).[pic 27]
[pic 28] | |
[pic 29] | |
[pic 30] | (8) |
A esta expresión se le conoce DIFERENCIAS REGRESIVAS.
ALGORITMO
Ingresar: h, x0, N Paso 1: [pic 31] [pic 32] h=h/2 x0= x0+h Paso 2: Mostrar: I,h, Der, x0 Paso 3: FIN (paso 1) |
Actividad 02: Implementar el algoritmo de diferencias regresivas con la expresión de la actividad anterior:
- Encontrar, la derivada de la siguiente función en x=0.5, h=0.2 y N=10.
- Graficar el valor de x0 versus Der. En el mismo gráfico debe graficar la derivada analítica de la función. Explicar el gráfico.
DIFERENCIAS CENTRADAS [pic 33]
[pic 34]
[pic 35] | (9) |
[pic 36] | (10) |
En este caso es la aproximación de mediante diferencias centradas. El error es del orden .[pic 37][pic 38]
[pic 39] | |
[pic 40] | |
[pic 41] | (11) |
A esta expresión se le conoce DIFERENCIAS CENTRADAS.
ALGORITMO
Ingresar: h, x0, N Paso 1: [pic 42] [pic 43] h=h/2 x0= x0+h Paso 2: Mostrar: I,h, Der, x0 Paso 3: FIN (paso 1) |
Actividad 03: Implementar el algoritmo de diferencias centradas con la expresión de la actividad anterior:
- Encontrar, la derivada de la siguiente función en x=0.5, h=0.2 y N=10.
- Graficar el valor de x0 versus Der. En el mismo gráfico debe graficar la derivada analítica de la función. Explicar el gráfico.
DIFERENCIAS PARA LA SEGUNDA DERIVADA
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para: , , según:[pic 44][pic 45]
[pic 46] | (12) |
[pic 47] | (13) |
Sumando ambas expresiones:
[pic 48] | (14) |
[pic 49] | (15) |
En este caso es la aproximación de y el error es del orden .[pic 50][pic 51]
[pic 52] | |
[pic 53] | |
[pic 54] | (16) |
ALGORITMO
Ingresar: h, x0, N Paso 1: [pic 55] [pic 56] h=h/2 x0= x0+h Paso 2: Mostrar: I,h, Der, x0 Paso 3: FIN (paso 1) |
Actividad 04: Implementar el algoritmo de diferencias progresivas para la siguiente expresión:
[pic 57] |
- Encontrar, la derivada de la siguiente función en x=1.8, h=0.2 y N=10.
- Analizar los resultados obtenidos.
Actividad Domiciliarias:
Encontrar la derivada de las siguientes funciones, utilizando los tres métodos, según se pide en la tabla, con ocho decimales.
En: [pic 58]
- [pic 59]
N° | Valor exacto | Hacia adelante | Hacia atrás | Centrada |
05 10 15 20 |
Analizar de manera gráfica mostrando en un solo gráfico los tres métodos y el valor exacto alrededor de un rango determinado.
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