Metodos numericos

Definición de ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos rectas en un mismo plano. La solución a dicho sistema se da cuando las dos ecuaciones de cada una de las rectas tienen el mismo valor, es decir, cuando las rectas se tocan. 

Un sistema de ecuaciones no lineales consiste en 2 o más ecuaciones de igual número de variables que pueden tomar cualquier forma, desde polinomios, funciones trigonométricas, logarítmicas exponenciales, etc. Esto tiene como consecuencia que los sistemas tengan cualquier número de soluciones, incluyendo cero e infinitas.

Matriz Jacobiana

Para poder solucionar un sistema de ecuaciones no lineales se tiene que utilizar la inversa de la matriz Jacobiana. Esta matriz se obtiene derivando cada una de las funciones por cada una de las variables. 

• Lo primero que hay que hacer es igualar todas las funciones:
• Luego se obtiene la matriz Jacobiana

Solución de sistemas no lineales

Con esta información se puede ver cómo solucionar un sistema de ecuaciones no lineales.

1. Lo primero es definir valores iniciales para las variables x y y. 
2. Y se obtienen los valores numéricos de la matriz Jacobiana
3. Ahora se junta la matriz Jacobiana y los valores de las funciones en negativo y se resuelve por eliminación gaussiana.
4. Y el resultado se le suma a los valores originales de las variables.

Definición de ajuste de curvas: Tener la ecuación ayuda mucho pues se puede obtener la derivada, ver máximos y mínimos, encontrar raíces y predecir comportamientos futuros, entre otras cosas.

El ajuste de curvas trata de encontrar una ecuación matemática que pueda describir los datos de la mejor manera

Los mínimos cuadrados lineales son aquellos en los que hay un conjunto de funciones y hay un coeficiente multiplicando a cada elemento. 

Solución de mínimos cuadrados lineales

Se obtendrá la matriz Jacobiana de la ecuación a modelar. Es decir, se va a derivar con respecto a x1, x2 y x3 y se evaluará en cada uno de los puntos.

Ahora se tiene que multiplicar la traspuesta de la Jacobiana por la Jacobiana normal

Y ahora se multiplica la transpuesta de la matriz Jacobiana por el vector de datos.

Modelos de parámetros no lineales

Algunas veces se desea modelar las ecuaciones con sistemas no lineales, es decir, que los coeficientes estén en el argumento de las funciones. En estos casos, el método de mínimos cuadrados no dará un valor exacto, sino que se irá aproximando a la solución a través de iteraciones que reducirán el error cuadrado total.

Teoría de la interpolación

Para predecir los puntos intermedios entre dos puntos dados se pueden utilizar varias aproximaciones. Para mostrar las distintas formas en que se pueden interpolar los datos.

Los polinomios de Lagrange permiten obtener un polinomio que pase por todos los puntos deseados de una manera sistemática.

Los polinomios de Newton funcionan a través de resolución de matrices. 

La interpolación servirá para poder conocer con una muy buena aproximación los puntos intermedios de una serie de datos dados.

Las integrales numéricas permiten obtener el valor de integrales definidas a base de hacer sumas de pequeñas divisiones del espacio. Este método no siempre arroja el resultado correcto, pero si se toma el paso suficientemente pequeño se puede obtener gran precisión.

La integral se define como la suma de las partes de un “algo” en donde estas partes son infinitamente pequeñas. 

La integración rectangular sigue la misma idea de la que se habló en la introducción de este tema. Hacer rectángulos pequeños cuya área sea fácil de medir y con base en esto obtener la aproximación numérica. 

La integral de trapezoide es ligeramente diferente a la integral de rectángulo. En lugar de tomar un rectángulo con la altura definida por el valor de la función en algún punto dado, se toma un trapecio con dos alturas en los dos extremos de la sección a calcular. 

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