Metodos numericos

Tarea1

        Metodos N´        umericos´

Control N◦1 de Metodos Num´        ericos Estad´        ısticos´

1. Sea X, con −1 ≤ θ ≤ 1, una v.a. continua con f.d.p. dada por

f (x) = [pic 2](1+θx)I(−1,1)(x).

(a) Calcule E[X] y F(x).

        Z 1        Z 1

        1        2)dx[pic 3]

        E[X] =        xf (x)dx =        (x +θx

        −1        −1 2

x21 θx31

        =        +[pic 4]

        4 −1        6 −1

= [pic 5] = [pic 6]

        Z x 1        1        θx2 x

        FX(x) =        [pic 7](1+θx)dx =        (x +        )[pic 8]

−1 2 2 2 −1 x θx2 1 θ

        =        +        +        −[pic 9]

        2        4        2        4

(b) Escriba el algoritmo del metodo de transformada inversa para simular valores´ de X. sea u ∼ U(0,1) entonces igualamos FX(x) = u :

θx2 +2x +2 − θ − 4u = 0

Calcularemos los valores de x resultantes de esta ec. cuadratica:

x [pic 10]

Algoritmo: para θ < 0

Generar u ∼ U(0,1)[pic 11]

Hacer x [pic 12]

Algoritmo: para θ > 0

[pic 13]Generar u ∼ U(0,1)

[pic 14]Hacer x [pic 15]

1. Considere que es de interes la generaci´ on de valores provenientes de una v.a. normal´ estandar, i.e.,´ Z ∼ N(0,1) si su f.d.p. es dada por

f [pic 16]IR

Implemente el metodo de aceptaci´ on rechazo utilizando como distribuci´ on pro-´ puesta un modelo exponencial de tasa uno, i.e., Y ∼ exponencial(1) si su f.d.p. es dada por

g(y) = e−y,y ∈ IR+

Como distribucion objetivo consideramos un modelo half-normal, i.e.,´        X = |Z| ∼ HN(0,1) si su f.d.p. es dada por

f [pic 17]

Utilizamos esta distribucion porque para obtener un valor normal est´        andar z, simu-´ lamos un valor half-normal x y hacemos z = x o z = −x equiprobablemente. En base al enunciado responda lo siguiente:

1. Muestre que si Z ∼ N(0,1) entonces X = |Z| ∼ HN(0,1).

FX(x) = P (X ≤ x) = P (|Z| ≤ x)

P (−x ≤ Z ≤ x) = P (Z ≤ x) − P (Z ≤ −x)

[pic 18](x)[pic 19]

[pic 20]

1. Calcule c el valor que maximiza f (x)/g(x) para todo x ∈ IR+.

        f (y)        √        x[pic 21]

=        e g(y) 2π

Para encontrar maximo de f[pic 22]g((yy)), Calcularemos puntos criticos:

d[pic 23]

√

        dy g(y)        2π

lo que implica:

x = 1 por lo tanto el valor que maximiza corresponde a:

        f (1)        2        1

        c =        = √        e2 = 1,315[pic 24]

        g(1)        2π

1. Escriba el algoritmo del metodo de aceptaci´ on rechazo para simular valores´ provenientes de la distribucion de Z.´

Solucion:´

Generar u1 ∼ U(0,1) Hacer y = −ln(u)[pic 25]

Generar u2 ∼ U(0,1)

Si u[pic 26] hacer x=y sino volver a generar y

Si u2 < 0,5 hacer z = −x sino z = x

Repetir n-veces

1. Considere la generacion de valores provenientes de una v.a.´ Beta(α,β), en que su f.d.p. es dada por

f (x|α,β) = [pic 27],α,β > 0

1. Muestre que si X ∼ Gamma(α,1), Y ∼ Gamma(β,1) y X e Y son variables independientes, entonces XX+Y ∼ Beta(α,β) por metodo del jacobiano:

sea U = XX+Y y V = X +Y despejando obtenemos X = UV y Y = V (1 − U)

         ∂x        ∂x                

        |J|        [pic 28]                −vv        1u− v = v

        ∂u        v

sea fU,V (u,v) = fX,Y (uv,v(1 − u))|J|

= fX(uv)fY (v(1 − u))v = [pic 29](uv)α−1(v(1 − u))β−1e−(v(1−u))v

[pic 30](uv)α−1(v(1 − u))β−1ve−v

tenemos que 0 < x +y < ∞ es decir 0 < v < ∞

calularemos:

∞

        Z        1        α−1(v(1 − u))β−1ve−vdv[pic 31]

        fU(u) =        (uv)

0 Γ(α)Γ(β)

= uα−1(1 − u)β−1 Z ∞vα+β−1e−vdv

[pic 32]

        Γ(α)Γβ)        0

        = uα−1(1 − u)β−1Γ(α +β)Z ∞        1        vα+β−1e−vdv[pic 33][pic 34]

...