Metodos numericos.

                                                      [pic 1][pic 2]

Universidad Autónoma de Nuevo León

Facultad de Ciencias Químicas

Ingeniería Química

Producto Integrador de Aprendizaje

Métodos Numéricos

Dr. Gerardo Flores

Arleny Guadalupe Reyna González 1693816

Gilberto Sebastián Jiménez Poceros 1568377

Cristina Lissette García Cantú 1590498

David Marcelo Briseño Zamarripa1600456

Sabina Rodríguez Cavazos 1693835

Diana Carolina Coronado de la Cruz 1584812

Dámaris Aimé Ontiveros Villarreal 1598248

Grupo: 001

Equipo 5

San Nicolás de los Garza a 3 de junio de 2015

Problema:

Un balance de energía en estado estacionario de una barra puede representarse como:

[pic 3]

Considere una barra que mide 10 m con T(0) = 240, T(10) = 150

a) Elabore un esquema del sistema analizado con las variables involucradas. Describa el fenómeno que se está llevando a cabo relacionándolo con un sistema reportado en la literatura.

NOTA: Este tipo de sistemas comúnmente son analizados en libros de transferencia de calor, puede utilizar algún libro de esta área para hacer el esquema y la descripción del fenómeno. No es necesario que deduzca la ecuación diferencial. Sin embargo, describa de manera general de donde surge.

b) Utilice el método de disparo con un R-K de cuarto orden para encontrar la temperatura de la barra en función de la distancia (proponga un valor de h adecuado para que la solución tenga una buena aproximación al valor exacto).

c) Utilice el método de diferencias finitas con un ∆x = 1 para resolver la ecuación diferencial.

d) De acuerdo a los resultados obtenidos, ¿Qué impacto económico tendría la solución obtenida, en un diseño o en el funcionamiento de un proceso en el que ocurra el fenómeno analizado?

X=0

T=240

X=10

T=150

Esquema del sistema analizado con las variables involucradas:

Métodos generales para problemas de valores en la frontera

Se puede utilizar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor para una barra larga y delgada (figura 27.2). Si la barra no está aislada en toda su longitud y el sistema se encuentra en estado estacionario, la ecuación resultante es

                                                                                                                           (27.1)[pic 4]

donde h′ es un coeficiente de transferencia de calor (m-2) que parametriza la velocidad con que se disipa el calor en el medio ambiente, y Ta es la temperatura del medio ambiente (°C). Para obtener una solución de la ecuación (27.1) se deben tener condiciones de frontera adecuadas. Un caso simple es aquel donde los valores de las temperaturas en los extremos de la barra se mantienen fijos. Estos valores se expresan en forma matemática como

T(0) = T1

T(L) = T2

Con estas condiciones, la ecuación (27.1) se puede resolver de manera analítica usando el cálculo. Para una barra de 10 metros con Ta = 20, T1 = 40, T2 = 200 y h′= 0.01, la solución es

T = 73.4523e0.1x – 53.4523e–0.1x + 20                                                                                         (27.2)

 En las siguientes secciones se resolverá el mismo problema usando procedimientos numéricos.

[pic 5]

Descripción del sistema análogo encontrado en la literatura:

De la experiencia cotidiana observamos que si se sujeta el extremo de una barra metálica, como por ejemplo una cuchara, y se coloca el otro en una llama, el extremo que se sostiene se calienta de a poco, aunque no esté en contacto directo con la llama. El calor llega al extremo más frío por conducción a través del material. A nivel atómico, los átomos de las regiones más calientes tienen en promedio más energía cinética que sus vecinos más fríos, así que los empujan y les dan algo de su energía. Los vecinos empujan a sus vecinos, continuando así a través del material. Los átomos en sí no se mueven de una región del material a otra, pero la energía sí se propaga. La mayor parte de los metales usan otro mecanismo más efectivo para conducir calor. Dentro del metal, algunos electrones pueden abandonar sus átomos padres y vagar por la red cristalina. Estos electrones “libres” pueden llevar energía rápidamente de las regiones más calientes del metal a las más frías. Es por ello que los metales que son buenos conductores de la electricidad generalmente son también buenos conductores del calor. Sólo fluye calor entre regiones que están a diferentes temperaturas, y la dirección del flujo siempre es de la temperatura más alta, TH, a la más baja, TC. Si se transfiere una cantidad de calor dQ en un tiempo dt, la razón de flujo de calor, H, es dQ/dt, y se la llama corriente de calor. Introduciendo una constante de proporcionalidad k, llamada conductividad térmica del material, para una barra de longitud L y área transversal A, tenemos:

[pic 6]

Para ello, la barra tendría que estar aislada de forma de no transferir calor por sus lados al medio circundante. Si la temperatura varía de manera no uniforme a lo largo de la varilla conductora, introduciendo una coordenada x a lo largo de la barra y generalizando el gradiente de temperatura como dT/dx, entonces la corriente de calor es:

[pic 7]

El signo negativo indica que el calor siempre fluye en la dirección de temperatura decreciente. En este experimento estudiamos cómo es la distribución de temperaturas en una barra de acero que conduce calor de un extremo a otro y transfiere calor por convección con el ambiente a través de su superficie expuesta al aire.

Algoritmo de solución en forma de seudocódigo o diagrama de flujo:  

Método del disparo con R-K de cuarto orden

1. Obtenemos nuestro sistema de ecuaciones ordinarias de la ecuación diferencial de  segundo orden, Z1 y Z2.
   
2. Definimos el paso de integración, h.
   
3. A partir de nuestras condiciones de frontera T(0) y T(L) proponemos un valor inicial.
   
4. Con nuestro valor inicial resolvemos para un método de R-K de cuarto orden. Con las ecuaciones siguientes:
   

Yj,i+1 = yj;i +(K1;j + 2K2;j + 2K3;j + K4;j)h[pic 8]

K1;j = fj (xi; y1;i; y2;i, …, yn;i)

K2;j = fj (xi + ½h; y1;i + ½hK1;1; y2;i + ½hK1;2 , …,  yn;i + ½hK1;n)

K3;j = fj (xi + ½h; y1;i + ½hK2;1; y2;i + ½hK2;2, …, yn;i + ½hK2;n)

K4;j = fj (xi + h; y1;i + hK3;1; y2;i + hK3;2, …, yn;i + hK3;n)

1. Verificamos con el valor de frontera que este por debajo de la función.
   
2.  Proponemos un nuevo valor en base a las condiciones de frontera con el propósito de que sea por encima de la condición de frontera.
   
3.  Aplicamos de nuevo el metodo R-K de cuarto orden.
   
4.  Suponiendo que nuestro valor de frontera esta entre nuestras condiciones propuestas, interpolamos con la ecuación lineal.

[pic 9]

Método de diferencias finitas

1. Analizar grado de ecuación diferencial.

1. Leer datos del problema

T(0) = 240, T(10) = 150, [pic 10]

1. Con las fórmulas ya establecidas para el método de diferencias finitas, sustituir en la fórmula del problema dado.

  )[pic 11]

) – 0.15Ti = 0     h=1[pic 12]

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