L alumno empleará las propiedades de los números reales en la resolución de desigualdades así también será capaz de expresar la solución de las desigualdades en términos de intervalos
Rodrigo AcevesExamen27 de Noviembre de 2015
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UNIDAD I: NÚMEROS REALES.
OBJETIVO: El alumno empleará las propiedades de los números reales en la resolución de desigualdades así también será capaz de expresar la solución de las desigualdades en términos de intervalos.
- 1.1 Introducción a los Números Reales.
- 1.2 Números Naturales. Principio de Inducción Matemática.
- 1.3 Enteros, Racionales e Irracionales.
- 1.4 Campo de los Números Reales.
- 1.5 Valor Absoluto de un Número Real. Propiedades.
- 1.6 Ley de Tricotomía.
- 1.7 Definición de Intervalos en los Números Reales.
- 1.8 Solución de Desigualdades de primer y segundo grados en una y dos variables.
- INTRODUCCIÓN A LOS NUMEROS REALES.
El número es el concepto matemático más importante.
El concepto de número natural se refiere a la sociedad primitiva y fue acondicionado a la necesidad de calcular la actividad práctica del hombre. Al inicio, el concepto abstracto no existía, solo se usaban expresiones verbales para designar los distintos números de los objetos. El concepto como tal surgió junto con la aparición de la lengua escrita y la introducción para la designación de números, de determinados símbolos.
La aparición de los números fraccionarios (positivos racionales) fue acondicionada a la necesidad de efectuar mediciones, es decir procesos, en los cuales, un valor se compara con otro del mismo género, elegido como unidad de referencia (unidad de medición). Pero como la unidad de medición no siempre estaba contenida un número entero de veces en la magnitud que medían, surgió la necesidad práctica de introducir números más pequeños que los naturales. Esto sirvió de base para el surgimiento de las fracciones más simples, tales como la mitad, un tercio, un cuarto, etc.
La introducción de los números negativos fue provocada por el desarrollo del álgebra, como ciencia que da los procedimientos generales de solución de los problemas aritméticos, independientemente de su contenido concreto y de sus datos iniciales.
El conjunto de los números racionales es suficiente para satisfacer la mayoría de las necesidades prácticas; mediante los números racionales se pueden realizar mediciones con cualquier grado de precisión.
La definición de número fue dada por I. Newton, uno de los fundadores del análisis matemático, en “La aritmética universal”: “Por número entendemos no tanto un conjunto de unidades, sino la relación abstracta entre una magnitud cualquiera y otra del mismo género tomada por nosotros como unidad”. Esta formulación da una definición única del número real, tanto racional como irracional.
El conjunto de todos los números reales se obtiene al complementar el conjunto de números racionales con el de números irracionales.
El conjunto de los Números Reales , simbolizado por [pic 1], comprende a los Números Racionales [pic 2] e Irracionales [pic 3]; por lo tanto comprende a los Números Positivos [pic 4],[pic 5], el cero [pic 6], Enteros [pic 7], Fraccionarios [pic 8]y Naturales [pic 9].
Propiedades de los números reales.
I. Propiedad de ordenación.
Para dos números cualesquiera [pic 10]y [pic 11]está definida la relación de orden:
[pic 12]
ó [pic 13]
ó [pic 14]
al mismo tiempo , si [pic 15] y [pic 16]entonces [pic 17]
- Propiedades de la operación de adición.
1).- Para cualquier par de números [pic 18] y [pic 19]
[pic 20] Ley conmutativa de la adición.
2).- Para cualquier terna [pic 21][pic 22][pic 23]
[pic 24] Ley asociativa de la adición.
3).- Existe el número llamado cero, tal que para cualquier número [pic 25]:
[pic 26] Existencia del elemento neutro o identidad aditiva[pic 27].
4).- Para cualquier número [pic 28]existe un número que se designa [pic 29], tal que:
[pic 30]El número [pic 31]se llama opuesto aditivo de [pic 32].
5).- Si [pic 33]entonces para cualquier número [pic 34]:
[pic 35]
Para cualquier par ordenado de números [pic 36],el número [pic 37]se llama diferencia de los números [pic 38]y [pic 39]y se designa [pic 40].
[pic 41]
- Propiedades de la operación de multiplicación.
1).- Para cualquier terna de números [pic 42]
[pic 43] Ley asociativa del producto.
2).- Para cualquier par de números [pic 44]
[pic 45] Ley conmutativa del producto.
3).- Existe el número que se designa con el símbolo [pic 46] y se llama unidad, identidad ó neutro multiplicativo
[pic 47] Existencia del neutro multiplicativo [pic 48].
4).- Para cualquier número [pic 49], distinto del cero, existe un número que se designa [pic 50] tal que
[pic 51] Existencia del inverso multiplicativo [pic 52]
- Conexión de las operaciones de adición y multiplicación.
Para cualquier terna de números [pic 53]
[pic 54] Ley distributiva del producto respecto a la suma.
- Para todo número [pic 55] se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones.
[pic 56] Ley de Tricotomía.
- Propiedad de clausura de la suma.
[pic 57]
VII.-Propiedad de la clausura de la multiplicación.
[pic 58]
- NÚMEROS NATURALES. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
Al grupo de números enteros no negativos, (ni cero), se le llama conjunto de números naturales. Se representa con la letra N
[pic 59]
[pic 60] es un conjunto ordenado, es decir, para dos números naturales cualesquiera [pic 61] y [pic 62]tiene lugar una de las relaciones siguientes:
[pic 63]
ó [pic 64]
ó [pic 65]
El número más pequeño es la unidad [pic 66].
Axiomas de los números naturales (Axiomas de Peano).
I. [pic 67]
II. Para cada número natural [pic 68]existe otro número natural llamado sucesor que se designa [pic 69].
III. Siempre [pic 70]
IV. De la igualdad [pic 71]se deduce que [pic 72] y que ambos son sucesores del mismo antecesor.
V. Principio de inducción completa. El conjunto de números naturales, que contiene al [pic 73] y para cada uno de [pic 74]elementos, el elemento sucesivo[pic 75], contiene todos los números naturales. Es idéntico a[pic 76].
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