LABORATORIO – APLICACIÓN MATLAB

LABORATORIO – APLICACIÓN MATLAB

Examinando los precios de cierre de la data de los índices bursátiles globales

La data está compuesta por 2665 observaciones de los precios diarios de cierre  de los índices bursátiles más representativos, abarca desde el 27 de Abril de 1993 hasta el 14 Julio de 2003.

Para cargar la data al Matlab usamos el siguiente comando:

• load data_GlobalIdx1

Donde globalidx1 contiene los precios de cierre de los siguientes índices bursátiles.

• Canada: TSX Composite                (Ticker ^GSPTSE)
• France: CAC 40                        (Ticker ^FCHI)
• Germany: DAX                        (Ticker ^GDAXI)
• Japan: Nikkei 225                (Ticker ^N225)
• UK: FTSE 100                        (Ticker ^FTSE)
• US: S&P 500                        (Ticker ^GSPC)

Luego graficamos los precios relativos de cada índice, normalizando el nivel inicial de cada índice a la unidad para facilitar la comparación de los rendimientos relativos. Cabe señalar que no ha habido dividendos repartidos, por tanto los datos son precios de cierre ajustado. Para ello usaremos el siguiente código:

• figure

plot(dates, ret2price(price2ret(Data)))

datetick('x')

xlabel('Date')

ylabel('Index Value')

title ('Relative Daily Index Closings')

legend(series, 'Location', 'NorthWest')

La fórmula ret2price(price2ret(data)) sirve para convertir la data de precios a retornos y viceversa, con ello conseguimos obtener la siguiente grafica de rendimientos relativos que inician desde un mismo punto.

[pic 1]

A continuación procedemos a especificar el vector de pesos del portafolio. Para ello consideraremos la misma ponderación para cada índice.

• nIndices = size(Data,2);
• weights  = repmat(1/nIndices, nIndices, 1);  

La variable “nIndices” es la cantidad de columnas que tiene la data que es igual a 6; luego la variable weights es igual a una matriz de “nIndices”x1 (6x1) que contiene el valor de 1/”nIndices (1/6)  en cada uno de sus elementos.

A continuación procederemos a hallar la serie de retornos logarítmicos del portafolio; para ello primero hallamos los retornos aritméticos individuales y los ponderamos por los pesos para obtener los retornos aritméticos del portafolio. Luego de ello convertimos los retornos aritméticos del portafolio a retornos logarítmicos. Estos cambios son significantes para largos periodos de tiempo.

• retornos = price2ret(Data,[],'Periodic')*weights
• retornos = log(1+retornos)

Guardamos en la variable T la cantidad de datos que tenemos.

• T = size(retornos,1)

A continuación graficamos los precios diarios de cierre mediante la conversión de los retornos logarítmicos con los retornos logarítmicos correspondientes.

• figure, subplot(2,1,1)
• plot(dates, ret2price(returns)), datetick('x')
• xlabel('Date'), ylabel('Closing Level'), title('Daily Portfolio Closings')

• subplot(2,1,2)
• plot(dates(2:end), returns), datetick('x')
• xlabel('Date'), ylabel('Return'), title('Daily Portfolio Logarithmic Returns')

[pic 2]

Filtrando los retornos del portafolio.

El bootstrap de una simulación histórica filtrada requiere que las observaciones sean independientes e idénticamente distribuidas. Sin embargo, la mayoría de series de retorno financiero presentan algún grado de autocorrelación y, más importante, heteroscedasticidad.

Para el ejemplo, la función de autocorrelación (ACF) de los retornos del portafolio revela que existe cierta correlación serial leve.

• figure

• autocorr(returns)
• title('Sample ACF of Returns')

[pic 3]

La función de autocorrelación de los retornos al cuadrado ilustra el grado de persistencia en la varianza e implica que el modelado GARCH puede condicionar significativamente los datos utilizados en el método de bootstrapping.

• figure
• autocorr(returns.^2)
• title('Sample ACF of Squared Returns')

[pic 4]

Para producir una serie de observaciones independientes e idénticamente distribuidas, se ajusta a un modelo AR(1) de la media condicional de los retornos del portafolio

[pic 5]

y un modelo asimétrico GARCH exponencial (EGARCH) a la varianza condicional.

[pic 6]

El modelor AR(1) compensa la autocorrelación, mientras que el modelo EGARCH compensa la heteroscedasticidad. En particular, el modelo EGARCH también incorpora asimetría (apalancamiento) en la ecuación de la varianza (ver Nelson [6]).

Además, los residuos estandarizados de cada índice se modelan como la distribución t de Student estandarizada para compensar las colas gruesas a menudo asociados con la renta variable. Esto es:

[pic 7]

El siguiente segmento de código estima el modelo AR (1) / EGARCH (1,1) y extrae los residuos filtrados y volatilidades de los rendimientos del portafolio.

• spec = garchset('Distribution' , 'T'  , 'P', 1, 'Q', 1, 'R', … 1,'VarianceModel', 'EGARCH', 'Display','off');
• [spec, errors, LLF, residuals, sigmas] = garchfit(spec, returns);
• garchdisp(spec, errors)

[pic 8]

A continuación se comparan los residuos del modelo y las correspondientes desviaciones estándar condicionales filtradas de los retornos sin modificar. El gráfico inferior ilustra claramente la variación de la volatilidad (heterocedasticidad) presentes en los residuos filtrados.

• figure, subplot(2,1,1)
• plot(dates(2:end), residuals)
• datetick('x')
• xlabel('Date'), ylabel('Residual'), title ('Filtered Residuals')

• subplot(2,1,2)
• plot(dates(2:end), sigmas)
• datetick('x')
• xlabel('Date'), ylabel('Volatility')
• title ('Filtered Conditional Standard Deviations')

[pic 9]

Habiendo filtrado los residuos del modelo de la serie de retornos del portafolio, estandarizamos cada residual por la desviación estándar condicional correspondiente. Estos residuos estandarizados representan el subyacente de media cero, unidad-varianza, i.i.d. serie. La propiedad i.i.d. es importante para el bootstrapping, ya que permite que el procedimiento de muestreo evite con seguridad las trampas de muestreo de una población en la que sucesivas observaciones son fuertemente dependientes.

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