LEYES DEL ALGEBRA

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del “Poder Popular” para la Educación Universitaria

Universidad Politécnica Territorial de Paria“Luis Mariano Rivera”

Municipio Cajigal, Estado Sucre

Facilitador Asesor:

Ing.: Ricardo Medina Autores:

Br. Robinson Pino

C.I: 21.287.480

Sección 00

Yaguaraparo, Marzo 2013

INTRODUCCIÓN.

La matemática representa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo

La competencia lógico matemática es importante, porque si no tuviéramos competencias lógico matemáticas, no podríamos organizar nuestras ideas para dar fuerza a nuestros argumentos, y estas competencias son particularmente importantes para la construcción de nuevos conocimientos, también a través de ella, podemos dar solución a todo tipo de problemas.

Hay argumentos que pueden ser formalizados y resueltos mediante los mecanismos que nos proporciona la lógica de enunciados. Sin embargo, existen otros muchos enunciados, que aun siendo elementales no pueden ser resueltos por la lógica de enunciado.

En este trabajo el a desarrollar es sobre las leyes de algebra proporcionales.

ALGEBRA

Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita.

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes del Algebra de Proposiciones

Las leyes de Algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el N las siguientes:

• EQUIVALENCIA

Equivalencia, expresión matemática que significa igual valor o igual validez, según los objetos matemáticos que relacione.

Las afirmaciones o proposiciones equivalentes son las que tienen igual validez, o que significan lo mismo, pues cada una de ellas implica a la otra. Por ejemplo, “el triángulo es equilátero” y “el triángulo es equiángulo” son afirmaciones equivalentes, pues todo triángulo equilátero es equiángulo y viceversa. Para indicar que dos afirmaciones son equivalentes se pone entre ellas el signo.

P⇔P

• INDEPOTENCIA

P∧P ⇔P

P∨ P ⇔P

• ASOCIATIVA

Propiedad asociativa, una propiedad de las operaciones aritméticas. Una operación Ä definida entre los elementos de un conjunto C es asociativa si, cualesquiera que sean los elementos a, b, c de C, se verifica que (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)

Por ejemplo, la adición de números naturales es asociativa porque, cualesquiera que sean los números naturales a, b, c, se cumple que: (a + b) + c = a + (b +c)

P∨Q∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨ (Q∨R)

P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧ (Q∧R)

• CONMUTATIVA

Propiedad conmutativa, una propiedad de las operaciones aritméticas. Una operación Ä definida entre los elementos de un conjunto C es conmutativa si, cualesquiera que sean los elementos a, b de C, se verifica que a Ä b = b Ä a

Por ejemplo, la multiplicación de números naturales es conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

P∧Q⇔ Q∧P

P∨Q⇔ Q∨P

• DISTRIBUTIVA

Propiedad distributiva, una propiedad de las operaciones aritméticas. Si Ä y Å son dos operaciones definidas en un mismo conjunto C, se dice que Ä es distributiva respecto a Å si, cualesquiera que sean a, b, c de C, se verifica que a Ä (b Å c) = (a Ä b) Å (a Ä c)

Por ejemplo, la multiplicación de números naturales es distributiva respecto a la suma porque, cualesquiera que sean los números naturales a, b, c, se cumple que a • (b + c) = a • b + a • c

Como se ve en este caso concreto, donde a = 4, b = 7, c = 3:

4 • (7 + 3) = 4 • 10 = 40

4 • 7 + 4 • 3 = 28 + 12 = 40

Los dos resultados coinciden, es decir, 4 • (7 + 3) = 4 • 7 + 4 •

P∧ (Q∨R) ⇔ (P∧Q) ∨ (P∧R)

P∨ (Q∧R) ⇔ (P∨Q) ∧ (P∨R)

• IDENTIDAD:

Identidad (matemáticas), igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica numéricamente para cualesquiera valores de las variables que intervienen.

Por ejemplo, xm • xn = xm + n es una identidad porque cualesquiera que sean los valores que se le asignen a las variables x, m y n, se cumple la igualdad numérica. Así, para x = 2, m = 5, n = 3, xm • xn = 25 • 23 = 32 • 8 = 256 xm + n = 25 + 3 = 28 = 256

Es decir, 25 • 23 = 25 + 3. La igualdad numérica se cumple para estos valores. También se cumpliría para otros valores.

Las identidades algebraicas son útiles para transformar una expresión algebraica en otra más sencilla o más adecuada a la finalidad que se pretende.

EJEMPLO

P∧F ⇔ F

P∧V⇔ P

P∨F⇔ P

P∨V⇔V

• COMPLEMENTO

Ampliar propiedad asociativa, una propiedad de las operaciones aritméticas. Una operación Ä definida entre los elementos de un c

EJEMPLO

.P∧¬P⇔F

P∨¬P⇔V

¬(¬P)⇔P

¬F⇔V

¬V⇔F

• DE MORGAN

¬ (P∧Q) ⇔ ¬P∨¬Q

¬ (P∨Q) ⇔¬P∧¬Q

APLICACIÓN:

Operación matemática que establece una correspondencia entre dos

Conjuntos de elementos de forma que a todo elemento del conjunto de partida se le asocie un elemento único del conjunto de llegada (véase Teoría de conjuntos).

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN:

Se debe probar una implicación: p  q. Es decir, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente. Demostración Indirecta Existen dos formas de demostración: Método del Contra recíproco: Otra forma proposicional equivalente a p  q desproporcionada por la Ley del contra recíproco: p  q  ~ q  ~ p. Demostración por Reducción al Absurdo: en este la proposición p  q es tautológicamente equivalente a la proposición (p  ~q)  (r  ~r) siendo r una proposición cualquiera

DEMOSTRACIÓN VALIDEZ O INVALIDEZ DE UN ARGUMENTO:

Para probar la validez o invalidez de un argumento, se utiliza un método basado en el hecho de que éstas son características puramente formales de los argumentos, es decir, que dos argumentos que tienen exactamente la misma forma; son válidos o inválidos, independientemente de las diferencias del tema que traten. Específicamente, para probar la invalidez de un argumento, basta con formular otro argumento que tenga exactamente la misma forma y tenga premisas verdaderas y conclusión falsa En teoría, las tablas de verdad son apropiadas para probar la validez de un argumento de tipo general, pero en la práctica son cada vez más difíciles de manejar a medida que aumenta el número de enunciados o proposiciones que conforman dicho argumento. Un método más eficiente para probar la validez de un argumento extenso consiste en deducir su conclusión a partir de sus premisas, mediante una serie de argumentos elementales, cada uno de los cuales se conoce y acepta como válido, este proceso es el que se denomina método deductivo.

CUANTIFICADORES EXISTENCIALES Y UNIVERSALES:

En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo: , llamado cuantificador existencial, antepuesto

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