LOS SISTEMAS NUMÉRICOS.

SISTEMAS NUMÉRICOS

En la escuela y en la secundaria, según los profesores y los programas oficiales que nos han correspondido, nos encontramos con diferentes tipos de números, los cuales se clasifican en conjuntos.

El primero de éstos es el conjunto de los números naturales: . Desde pequeños, sabemos que un número natural es cualquiera de los números: 1; 2; 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito, pero su definición no es sencilla. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza. Por otro lado, existe desde hace mucho tiempo el convencimiento bien fundamentado por cierto, de que prácticamente toda la matemática descansa en la teoría de los números naturales^[1]. [pic 1]

Debemos notar: en el conjunto de los números naturales no es siempre posible la operación de sustracción. Si el sustraendo es mayor que el minuendo, la diferencia no es un número natural, por ejemplo, la diferencia  no existe, pues no hay ningún número natural que sumado con 11 nos dé 6. Por esta razón, nos vemos en la necesidad de extender el conjunto de los números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico en el cual no tengan restricciones en la sustracción, que es el conjunto de los números enteros: . Por otro parte, se observa que todo número natural es entero, pero no al contrario, es decir, , pero .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Así como contar impulsó la creación de los números naturales; para representar la temperatura bajo cero o una deuda, se crearon los números enteros. La necesidad de medir generó la invención de las fracciones, así, cuando decimos: “. Mi casa está en la mitad de la cuadra, me serví medio litro de leche, guardé un cuarto de kilo de queso en la nevera, me comí medio pan, queda un poco menos que tres cuartos de litro de agua, necesito un quinto de treinta naranjas”. Son expresiones que comúnmente utilizamos en nuestro entorno. A ellas se les conoce como fracciones, y no se pueden denotar en el conjunto de los números enteros, pues en dicho conjunto no siempre es posible realizar la operación de división. Por ejemplo,  no está definida en el conjunto de los números enteros, pues no existe ningún numero entero que multiplicado por 7 dé 4; esto equivale a resolver la ecuación: , que no tiene solución en el conjunto. Es por esto que es necesario ampliar el conjunto de los números enteros a fin de obtener otro conjunto de números en el cual podamos expresar las medidas planteadas, y, asimismo, nos permita realizar la división y resolver ecuaciones de la forma , donde y son números enteros con .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

A este nuevo conjunto se le llama conjunto de los números racionales, construido con la ayuda de los números enteros: . Observemos que todo número entero es racional; por ejemplo: , ó,   (o muchas otras posibilidades de representación de -2 nos lo dejan ver). Así, ,  pero ℚ⊈ℤ.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Al hacer una división entre dos números enteros nos resultan dos posibilidades de números decimales: con un número finito de cifras decimales (decimal finito) o con un número infinito de cifras decimales pero que se repiten periódicamente (decimal periódico). Por   ejemplo:

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Tenemos, entonces, que .[pic 17]

El conjunto de los número reales, , contiene a todos los números racionales, es decir, , pero existen números reales que no son racionales, los números decimales que tienen un número infinito de cifras decimales que no se repiten periódicamente (decimales infinitos no periódicos), por ejemplo:  los cuales han sido llamados números irracionales: .[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Históricamente, fueron los griegos quienes concibieron primero los números irracionales. Los historiadores atribuyen a Pitágoras (540 A.C) el descubrimiento de estos, al establecer la relación entre lado de un cuadrado y la diagonal del mismo^[2].  En época de los pitagóricos, unido a la aparición de magnitudes inconmensurables, en un escenario en el que se consideraba que todo el universo estaba construido armónicamente y que esa armonía podía expresarse como cociente de números enteros. Más tarde Teodoro de Cirene (400 A.C) matemático de la escuela pitagórica, demostró geométricamente que , etc., son irracionales. Euclides (300 A.C) analizó en el libro X de sus “elementos”, ciertas cantidades que al ser medidas, no se encontraba ningún entero o fraccionario que los expresara. [pic 22]

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