La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut

Introducción

La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:

donde g(x) es una función continuamente diferenciable.

El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve.

Conceptos previos

En este trabajo nos moveremos entre términos tales como “ecuación diferencial” o  “solución singular”, por lo que es conveniente realizar una definición previa de los mismos.

v     Ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es una ecuación en que involucra una función incógnita desconocida junto con sus derivadas. Según el tipo de derivadas se dividen en:

·        Ecuaciones diferenciales ordinarias: La incógnita es una función de una variable y = f(x).

·        Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respectos a dos o más variables

v     Orden de una ecuación diferencial. Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.

v     Tipos de soluciones. Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la variable dependiente, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones: 

·        Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes esenciales. Una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.

·        Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en donde la/s constante/s recibe un valor específico.

·        Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso particular de la solución general.

Desarrollo

[pic 1][pic 2]Supongamos que                              es una función real. Si                     , la recta tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por:

Observemos que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro [pic 3]. Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas. Como y’ = f’(c), podemos reescribir la ecuación de la recta tangente como:

y = f’(c)x – cf’(c) + f(c)

Como sabemos que y’ = f’(c):

La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut.

Teorema (Solución de la ecuación de Clairaut)

La ecuación de Clairaut

[pic 5]

donde f(x) es una función derivable, tiene como solución general y = cx + f(c) y como solución singular

[pic 6]

Demostración

Para resolver la ecuación hacemos la sustitución u = y’ para obtener:

 (1)
                                   

Derivando ambos lados respecto a [pic 8]:

de donde obtenemos que

Surgen dos casos:

Caso 1: 
Si u’ = 0 , entonces u = c, y sustituyendo en (1) obtenemos la solución general [pic 11]

Caso 2: 
Si x + f’(u) = 0, entonces x = -f’(u) y sustituyendo en (1), y = -uf’(u) + f(u),  es decir:  

[pic 12]

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde u es el parámetro. Obsérvese que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.

Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial:

y = xy’ + 2 √(1 + (y’)2)

Solución: 
La solución general es la familia de rectas y = cx ± 2 √(1 + c2 ) y como f (t)= 2 √(1 + t2 ) la solución singular está dada por:

                                                (-2) 2t                  -2t

x = - f’(t) = ―――――――― = ――――――――

                                              2 √(1 + t2 )            √(1 + t2 )

                                   2t2                                        -2t2 + 2 + 2t2                     

y = -tf’(t) + f(t) = ―――――――― + 2 √(1 + t2 ) = ―――――――――――― = 
                                √(1 + t2 )                                       √(1 + t2 )

...