La transformada de Laplace

La transformada de Laplace convierte cierto tipo de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. De este modo, cuando se resuelve la ecuación algebraica, queda también resuelta la ecuación diferencial correspondiente. La transformada de Laplace se define mediante una integral impropia.

Definición:

Sea f definida en [0, +∞[, la transformada de Laplace de f es una función de s definida mediante

L [ f(t)](s) = Z +∞ 0 e −st f(t)dt, (2)

en todos los valores de s para los que la integral sea convergente. Observe que la transformada de Laplace es una función de la variable s de tal modo, como de costumbre, la notación L [ f(t)] hace referencia a la función en general, mientras que L [ f(t)](s) es la función evaluada en s. Sin embargo, en algunas ocasiones, escribir L [ f(t)](s) puede resultar incómodo o confuso, por ello se convendrá en escribir L [ f(t)] o L [ f ] teniendo en mente que es la transformada de Laplace de f(t) evaluada en s.

Propiedades de la transformada de Laplace

Se verá a continuación una serie de propiedades de la transformada de Laplace que, junto con las transformadas de algunas funciones básicas, permiten determinar la de muchas otras funciones.

 Teorema 8

 Sean L [ f ] y L [g] definidas para s > a y p y q números reales cualesquiera; entonces, la transformada de Laplace de p f + qg está definida para s > a, y se tiene

 L [p f + qg] = pL [ f ] + qL [g] .

Demostración: La existencia de la transformada de Laplace para las funciones f y g implica que R +∞ 0 e −st f(t)dt e R +∞ 0 e −stg(t)dt convergen para s > a; entonces, en virtud del teorema 5, se tiene lo indicado.

 Teorema (transformada de Laplace de una potencia)

Sea f(t) = t n , para n entero positivo. Entonces,

[pic 1]

[pic 2]

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Si £{f(t)}(s) = F(s), entonces decimos que f(t) es una transformada inversa de Laplace de F(s) y se denota así:

£ −1 {F(s)} = f(t)

NOTA: La transformada inversa de Laplace de F(s), no necesariamente es única.

 Por ejemplo, la función

Para funciones continuas, £−1 es un operador lineal:

 £ −1 {αF(s) + β G(s)} = α£ −1 {F(s)} + β£ −1 {G(s)}

En los ejemplos de esta sección, utilizaremos los resultados del Apéndice C. para calcular fracciones parciales.

[pic 3]

Ejemplo 1. Con factores lineales en el denominador

[pic 4]

Pero por fracciones parciales

[pic 5]

Para hallar el coeficiente A, eliminamos de la fracci´on el factor correspondiente a A y en la parte restante sustituimos a s por la ra´ız asociada a este factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B y C.

[pic 6]

Aplicaciones de la transformada de Laplace en E.D

Pasos:

• Aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación
• Aplicar el teorema de la transformada de la derivada

£{y ′} = sY (s) − y(0)

 £{y ′′} = s 2Y (s) − sy(0) − y ′ (0) donde Y (s) = £{y(t)}(s)

Nota: cuando las condiciones iniciales no están dadas en t = 0, sino en t = a, se hace el cambio de variable τ = t − a, con este cambio de variable, la nueva E.D. tiene condiciones iniciales en τ = 0.

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