Aplicación de la Transformada de Laplace

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO[pic 1]

Facultad de Ciencias en la Ingeniería

Investigación de la Unidad #2

Tema General:

Aplicación de la Transformada de Laplace

Docente:

José Luis Saquinaula Brito

Estudiante:

Axel Javier González García

Carrera:

Ingeniería en Software

Materia:

Ecuaciones Diferenciales

Índice

Introducción        3

Resolución de ecuaciones diferenciales de orden dos        4

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Segundo Orden        5

Reducción de Orden en Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden        6

Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogéneas        7

Aplicaciones de la transformada de Laplace        9

Circuito eléctrico (voltaje, resistor, capacitor e inductor)        10

Ejemplo        12

Transformada de Laplace en Sistemas mecánicos        14

Ejemplo:        15

Conclusión:        19

Bibliografía        19

Introducción

Los circuitos eléctricos son elementos comunes en la actualidad, ya que prácticamente están presentes en casi todos los aparatos electrónicos que podemos pensar, desde un celular hasta una computadora o una televisión usan este tipo de elementos para funcionar, En el siguiente ensayo se dará a conocer de forma breve un poco sobre este tema, se mencionaran cuáles son sus elementos principales y sus funciones además de describir el comportamiento de los circuitos como un sistema mediante la utilización de una gran herramienta matemática: La transformada de Laplace la cual constituye en un elemento muy importante en el estudio no solo de los circuitos eléctricos sino también veremos como esta se involucra dentro de los sistemas mecánicos ayudando a resolver ejercicios que involucran elementos propios de este tipo de sistemas (masas, resortes, amortiguadores).

Además de eso también se presentarán de manera breve algunos de los pasos a seguir para de resolución de deferentes tipos de ecuaciones diferenciales de segundo grado.

Marco teórico

Resolución de ecuaciones diferenciales de orden dos

Una Ecuación diferencial de segundo orden básicamente se caracteriza por tener presente en su estructura una derivada de segundo orden y presentar la siguiente forma canónica:

[pic 2]

Los resultados que se obtienen a para de la resolución de este tipo de ecuaciones se pueden generalizar a ecuaciones lineales de un orden superior a 2.

Tipos de soluciones

• Solución General: La familia paramétrica de funciones  es solución general de la ecuación, si cada función de la familia satisface la ecuación y si dados los valores  e , existen  tales que la correspondiente función cumpla que  y que [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
• Solución Particular: Se define como cada una de las funciones obtenidas a partir de la solución general al darle los valores correspondientes a los parámetros.
• Solución Singular: Al contrario de la solución particular, esta solución no puede extraerse a partir de la solución general, de ahí su nombre.

Problemas asociados

• Valores Iniciales: Se caracteriza incluir valores que la derivada debe tomar tanto la solución como su derivada en un mismo punto en especifico
• Valores en la frontera: Formado por la Ecuación Diferencial y los valores fijados para la solución en dos puntos distintos [pic 9]

El teorema de la solución general indica que si se denota como  a cualquier solución particular de la ecuación completa  de la solución general de la homogénea asociada, entonces la solución general de la ecuación completa es: [pic 10][pic 11][pic 12]

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Segundo Orden

Cuando se trata se hallar la solución a una ecuación diferencial lineal en realidad se deben resolver dos problemas: encontrar la Ec. General Homogénea asociada y la solución particular. Cabe destacar que en este tipo de ecuaciones solo debemos encontrar lo primero que se mencionó.

Como ya es de nuestro conocimiento una ecuación homogénea es aquella que esta igualada a 0 por lo tanto una ecuación diferencial homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma canónica:

[pic 13]

Debemos de tener en cuenta que en este tipo de ecuaciones a menudo ya se sabe una parte de la solución que vienen dada por  por lo que se debe proceder a encontrar la parte faltante de la solución, que será igual a una función a la que denomina  que a su vez se multiplica por la solución .[pic 14][pic 15][pic 16]

Se menciono que la parte faltante de la solución a la que se denomina  es igual a en donde  viene dada por la siguiente expresión:[pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

El factor integrante presente en esta expresión se lo obtiene de la misma manera que en las ecuaciones diferenciales de primer orden, solo que esta vez el factor integrante estará dado por:

[pic 21]

En donde  es igual a [pic 22][pic 23]

Una vez sea calculado el valor de  se procede a multiplicarlo por la solución conocida, ósea   y de esta manera obtendremos el valor de  aunque cabe resaltar que esto será así siempre y cuando  y  no sean proporcionales, es decir siempre que sean linealmente independientes, si esto se cumple entonces la solución general a este tipo de ecuaciones esta dada por la expresión:[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

En donde  y  son constantes arbitrarias.[pic 30][pic 31]

Reducción de Orden en Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

La reducción de orden consiste en un proceso en donde, dada una solución  de la ecuación.[pic 32]

[pic 33]

Se encuentra otra solución , de manera que  e  son independientes. En lo que sigue, supondremos que en las funciones  y  son continuas.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Si  es una solución de una ecuación lineal homogénea de orden dos, entonces la sustitución. [pic 39]

[pic 40]

La reduce a una de primer orden. Se describe el método a continuación:

• Se escribe   con el objetivo de encontrar [pic 41][pic 42]
• Se deriva dos veces  y se impone que se verifique la ecuación homogénea: [pic 43][pic 44]
• Se agrupan los términos  (solo debe haber uno),  y en [pic 45][pic 46][pic 47]
• El termino en  queda anulado debido a que es la solución , luego resulta una ecuación de primer orden en , de la cual se obtiene esta función.[pic 48][pic 49][pic 50]
• Se integra  y se realizan los cálculos necesarios para encontrar  y partir de esto se llega a la solución  requerida[pic 51][pic 52][pic 53]

Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogéneas

Este tipo de ecuaciones se caracteriza por tener la siguiente forma canónica:

[pic 54]

Otra de las características de este tipo de ecuaciones es porque posee una ecuación característica que esta asociada a la ecuación original, en este caso la ecuación característica seria: [pic 55]

Conociendo las raíces de esta ecuación se puede formar la solución general de [pic 56][pic 57]

Esto según que el discriminante de la ecuación característica asociada sea positivo, nulo, negativo, podrían aparecer 3 casos distintos:

• Caso #1

El primer caso es cuando existen 2 raíces reales y distintas :[pic 58]

Entonces el sistema fundamental de soluciones será:  y la solución general tendrá la forma: [pic 59][pic 60]

• Caso #2

El segundo caso es cuando en la ecuación característica asociada tiene una raíz real que se repite, por lo que su sistema fundamental de soluciones tendrá la forma:

[pic 61]

Por lo que la solución general será: [pic 62]

• Caso #3

En el tercer caso la ecuación característica posee dos raíces complejas conjugadas,

[pic 63]

 Y su sistema fundamental de solución es:

...