EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Enviado por Jonathan Rodríguez Caro • 11 de Diciembre de 2020 • Trabajos • 16.226 Palabras (65 Páginas) • 703 Visitas
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”[pic 1]
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA EXTENSIÓN MATURÍN
EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMADA DE LAPLACE.
Autor: Jeickson A. Sulbaran M.
Tutora: Ing. Mariangela Pollonais
Maturín, Enero del 2017
ÍNDICE GENERAL:
Pág. | |
PARTE I: En los siguientes ejercicios determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones……………………………………….….. | 03 |
PARTE II: En los siguientes ejercicios calcule la Transformada Inversa de Laplace de la función "𝑠" dada…………………………………………………. | 17 |
PARTE III: En los siguientes problemas resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales…………………………………………………………………….… | 32 |
PARTE I: En los siguientes ejercicios determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones.[pic 2]
1. 𝒇(𝒕) = 𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝒕) + 𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕)
Solución:
De acuerdo, con la definición de Transformada de Laplace, se tiene que:
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ℒ{2 sen(𝑡) + 3 cos(2𝑡)} = ℒ{2 sen(𝑡)} + ℒ{3 cos(2𝑡)}
⇒ ℒ{2 sen(𝑡) + 3 cos(2𝑡)} = 2ℒ{sen(𝑡)} + 3ℒ{cos(2𝑡)}
∞ ∞
⇒ ℒ{2 sen(𝑡) + 3 cos(2𝑡)} = 2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 sen(𝑡) 𝑑𝑡 + 3 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
0 0
𝑏 𝑏
⇒ ℒ{2 sen(𝑡) + 3 cos(2𝑡)} = 2 Lím ∫ 𝑒−𝑠𝑡 sen(𝑡) 𝑑𝑡 + 3 Lím ∫ 𝑒−𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
𝑏→∞
0
𝑏→∞
0
(1) (2)
Hallemos las integrales impropias (1) y (2), tomando en cuenta que, ambas integrales son cíclicas, se tendrá que:
𝑏
(1) Lím ∫ 𝑒−𝑠𝑡 sen(𝑡) 𝑑𝑡
𝑏→∞
0
Sea, 𝑢 = sen(𝑡) |
𝑑𝑢 = cos(𝑡) 𝑑t |
−𝑠𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑣 = ∫ 𝑒 𝑑𝑡 = − 𝑠 |
𝑏[pic 3]
Lím ∫ 𝑒−𝑠𝑡 sen(𝑡) 𝑑𝑡 = Lím [(−
𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑏
)
[pic 4]
𝑏
+ 1 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑑𝑡]
[pic 5]
𝑏→∞
0
𝑏→∞
𝑠 0 𝑠 𝑜
Sea, 𝑢 = cos(𝑡) |
𝑑𝑢 = −sen(𝑡) 𝑑t |
[pic 6]
= 𝐿í𝑚 [(−
𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑏
)
[pic 7]
+ 1 [(−
[pic 8]
𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑏
)
[pic 9]
𝑏
− 1 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡]]
[pic 10]
𝑏→∞
𝑠 0 𝑠
𝑠 0 𝑠 0
𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑏 1
𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑏 1 𝑏
= 𝐿í𝑚 [(−[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
𝑏→∞
𝑠 )
+ 𝑠 (−
𝑠 )
− 𝑠
2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡]
0
𝑏
𝑠2 + 1
𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑏 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑏
⇒ ( 2 ) 𝐿í𝑚 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐿í𝑚 [(−[pic 17][pic 18]
[pic 19]
) − (
2 ) ]
𝑠 𝑏→∞
0
𝑏
𝑠2
𝑏→∞
𝑠
𝑒−𝑠𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝑏)[pic 20]
0 𝑠 0
𝑒−𝑠𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝑏) 1
𝐿í𝑚 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡 = ( 2[pic 21]
...