Laboratorio 15

Definición 1 (Vecindad de un punto):

Seax_0∈R y sea δ>0. Denominaremos vecindad de centro x_0 y radio δ al intervalo abierto ├]x_0-δ,x_0+δ┤[.

Definición 2: (Puntos interior, frontera y exterior de un conjunto).

Sea A⊆R. Sea x_0∈R. Decimos que x_0 es:

Un punto interior de A si y sólo si existe δ>0 tal que ├]x_0-δ,x_0+δ┤[⊂A

Un punto frontera de A si y sólo si:

(∀δ>0)( ├]x_0-δ,x_0+δ┤[∩A≠∅ ∧├]x_0-δ,x_0+δ┤[∩A^c≠∅).

Un punto exterior de A si y sólo si existe δ>0 tal que ├]x_0-δ,x_0+δ┤[⊂A^c

En castellano:

Una vecindad del número real x_0 es un intervalo abierto, acotado y centrado en x_0. La distancia entre x_0 y el supremo o ínfimo del intervalo abierto, se denomina radio de la vecindad.

Un número real x_0 es un punto interior del conjunto A si existe alguna vecindad centrada en x_0 totalmente contenida en A.

Un número real x_0 es un punto frontera del conjunto A si toda vecindad centrada en x_0contiene puntos de A y también de su conjunto complemento.

Un número real x_0 es un punto exterior del conjunto A si es un punto interior del conjunto complemento de A.

Ejemplificación.

Sea A=├]-∞,0]∪├]7,9].

Si denotamos por Int(A)al conjunto de todos los puntos interiores de A entonces Int(A)=├]-∞,0┤[∪├]7,9┤[.

Si denotamos por Fr(A) al conjunto de los puntos frontera de Aentonces Fr(A)={0,7,9}.

Los puntos exteriores de A son todos los números reales que no son puntos interiores ni puntos frontera de A.

Sea a,b∈Rtal que a<b. SeaA=├]a,b┤[.

Todo punto de A es punto interior de A pues si x∈├]a,b┤[ entonces a<x<b. Si elegimos 0<δ<min{x-a,b-x}, entonces ├]x-δ,x+δ┤[⊆A.

También podemos afirmar que a es un punto frontera de A, pues si 0<δ<(b-a) entonces ├]a-δ,a+δ┤[contiene a (a+δ/2)∈├]a,b┤[. Por otra parte a∈├]a-δ,a+δ┤[∧a∉├]a,b┤[.

Usando argumentos similares se llega a probar que b es un punto frontera de A.

Si n∈N entonces b+1/n es un punto exterior de A. En efecto:

├]b+1/2n,b+1┤[∩├]a,b┤[=∅. Además (b+1/n)∈├]b+1/2n,b+1┤[.

Derivadas.

Definición 4 (Derivada de una función en un punto):

Sea x_0 un punto interior del dominio de la función f.

Si lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗 existe, entonces lo llamamos la derivada de f en x_0 y lo denotamos por〖f(x_0)〗^´.

Si x_0 es un punto frontera del dominio de f entonces sólo tendremos un límite lateral de la tasa de cambio promedio. Si dicho límite lateral existe se le llama derivada lateral de f en x_0.

Interpretación geométrica de la derivada: Si la derivada de f en x_0 existe, entonces puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0 )).

Ejemplificación.

Calcule si existe, la derivada de la función f(x)=√(x+1) en x=1 y en x=-1.

Solución.

El dominio de f es [-1,∞┤[. Entonces 1 es un punto interior del dominio de f.

〖f(1)〗^´=lim┬(h→0)⁡〖(f(1+h)-f(1))/h=lim┬(h→0)⁡〖(√(h+2)-√2)/h〗 〗=lim┬(h→0)⁡〖1/(√(h+2)+√2)=√2/4〗

Como -1 es un punto frontera del dominio de f entonces sólo podemos calcular su derivada lateral derecha.

lim┬(h→0^+ )⁡〖(f(-1+h)-f(-1))/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖(√h-√0)/h〗=lim┬(h→0^+ )⁡〖1/√h〗

Este último límite no existe pues la función g(h)=1/√h no es acotada en ├]0,δ┤[ para ningún δ>0.En concreto: f no tiene derivada en (-1,0).

Definición 5:(Función Derivada).

Sea f una función real de variable real.

Sea Dom(f)el dominio de f.

Sea Dom(f´)={x∈Dom(f):f´(x)∈R}, o sea el conjunto de todos los elementos del dominio de f para los cuales existe la derivada. Notamos que todos los elementos de Dom(f´) son puntos interiores de Dom(f).

Entonces la función que asocia a cada elemento de Dom(f´)su derivada, se llama función derivada de f. Es decirf´:Dom(f´)⟶R y si x_0∈Dom(f´) entonces:

x_0⟶f´(x_0 )=lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗

En castellano: La función derivada de la función f es la que asocia a cada elemento del dominio de f su derivada.

Ejemplificación.

Sea s=t/(t+1). Hallar la función derivada de s=s(t).

Sabemos que Dom(s)=R-{(-1)/2}. O sea Dom(s)=├]-∞,(-1)/2┤[∪├](-1)/2,∞┤[. Es claro que todo punto de este conjunto es un punto interior del dominio de la función s.

Sea t un punto cualquiera pero fijo de Dom(s).

Entonces lim┬(h→0)⁡〖(s(t+h)-s(t))/h=lim┬(h→0)⁡〖((t+h)/(t+h+1)-t/(t+1))/h〗 〗=lim┬(h→0)⁡〖1/(((2(t+h)+1)(2t+1))〗=1/〖(2t+1)〗^2

Luego la función derivada de s tiene como regla de asociación a s´(t)=1/〖(2t+1)〗^2 y su dominio es todos los reales excepto -0.5. Es decir, el mismo dominio que la función original s.

Maletín de derivadas.

Nuestro maletín de derivadas debe contener funciones derivadas básicas y reglas para hallar derivadas de funciones más complejas.

Si nuestro maletín está lleno y sabemos usar su contenido -conocimiento que sólo surge del entrenamiento personal-, entonces estamos listos para salir a la calle

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