Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos

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MATRICES

Introducción

 Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por maten áticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ´ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

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Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras mayúsculas

Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

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A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. ¿Qué elemento es a21? B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23? C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3. ¿Qué elemento es c42? En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

Tipos de matrices

1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. Por ejemplo,

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             Es una matriz nula de tamaño 2x5.

2.-Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n. Por ejemplo,

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Es una matriz fila de tamaño 1 x 4.

3.-Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión serán 1, como por ejemplo:

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Es una matriz columna de tamaño 3 x 1.

4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. La matriz[pic 9] del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamaño 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Otro ejemplo de matriz cuadrada es:

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De orden 3. Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33,..., ann, siendo la matriz:

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En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 1, 5, 0. Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11 + a22 + a33 +... + ann, y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6. La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2, n−1, a3, n−2,..., an1.

 En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3.

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Son ejemplos de estas matrices:

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Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.

Un ejemplo de matriz diagonal seria:

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Por  último, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In, donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:

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Suma y diferencia

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Por ejemplo:

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Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:

a) Conmutativa: A + B = B + A

 b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

 c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

Ejemplo: Si

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Porque:

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Producto por un número real

Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).

Por ejemplo:

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Propiedades:

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A+k·B

b) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d) ·A= k·A+d·A

c) Asociativa: k· (d·A)= (k·d) ·A

d) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

Ejercicios:

1. Si A =[pic 19]y B =[pic 20], halla una matriz X que verifique la ecuación:

                                                   2 · X − 4 · A = B

1. Determina las matrices X y Y sabiendo que:

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Trasposición de matrices

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Por ejemplo, si A =[pic 22]entonces la matriz traspuesta de A es:

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Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta At tendrá tamaño n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño.

Propiedades:

a) (At )t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.

 b) (A + B)t = At + Bt

c) (k · A)t = k · At

En base a esta nueva  operación, podemos definir otras dos clases de matrices, que son:

Matriz simétrica, que es aquella para la que se cumple que At = A, por ejemplo la matriz:

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Es simétrica .En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.

Producto de matrices

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”

Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observemos que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

Veámoslo mediante un ejemplo:

Para multiplicar las matrices:

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Primero comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4, y el resultado, según lo dicho ser a una matriz de tamaño 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:

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Solo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

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El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

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El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

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Así sucesivamente se obtienen (comprueba):

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Propiedades del producto de matrices

a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C

b) Distributiva respecto de la suma:

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c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n:

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