Matrices Y Determinantes

Unidad I

Matrices y Determinantes

1.1 Operaciones con matrices

Método de Cramer y Método de la Lluvia. (Practicar)

Suma de matrices y producto de una matriz por un número.

DEFINICIÓN

Matriz Cuadrada: Tiene el mismo número de fila que de columnas.

1 2 -5

3 6 5

0 -1 4

Matriz Rectangular: Tiene distintos número de fila que de columnas.

1 2 5

9 1 3

Matriz Nula: Todos sus elementos son ceros.

0 0

0 0

Matriz Triangular Superior: Es una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

1 7 -2

0 -3 4

0 0 2

Matriz Triangular Inferior

Matriz Triangular Inferior: Los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

2 0 0

1 2 0

3 5 6

Matriz Diagonal: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

2 0 0

0 2 0

0 0 6

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

2 0 0

0 2 0

0 0 2

Matriz identidad o unidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son

iguales a 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

La Matriz Inversa de una matriz cuadrada de orden es la matriz cuadrada también de orden que verifica:

Donde es la matriz identidad de orden .

Definición Matriz Traspuesta

Se llama matriz traspuesta de una matriz a la matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas o las columnas por filas.

Ejm. A = 2 3 0 At = 2 1 3

1 2 0 3 2 5

3 5 6 0 0 6

El Determinante: Es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por

La Función Determinante

Cada fila de una matriz cuadrada puede considerarse como un vector de de tal forma que se pueden definir funciones multilineales de en .

Propiedades de los determinantes:

1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir: Det ( A ) = Det ( At )

2ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.

Calculo del

determinante utilizando el método de reducción a la forma escalonada y el método de los cofactores.

Reducción A La Forma Escalonada:

Este es otro método para calcular determinantes y consiste en aplicar ciertas operaciones que nos permite obtener una matriz triangular inferior o superior equivalente a la matriz dada. Aplicando estas operaciones obtenemos una matriz equivalente a la dada pero que sea triangular o que tenga la forma escalonada para poder aplicar la propiedad de que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

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