Las siete operaciones básicas de la Aritmética

“Operaciones”

Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o expresiones.

Las siete operaciones básicas de la Aritmética son:

“Suma”

La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.

A + B = C

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

“Propiedades de la suma”

1. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

A + B = B + A

3. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. A + 0 = A

4.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

A − A = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

La suma de números naturales no cumple esta propiedad.

“Resta”

La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

“PROPIEDADES DE LA RESTA”

NO ES CONMUTATIVA:

a − b ≠ b − a

“Multiplicación”

Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

a • b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1.” ASOCIATIVA:”

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

(a • b) • c = a • (b • c)

2. “CONMUTATIVA:”

El orden de los factores no varía el producto.

a • b = b • a

3. “ELEMENTO NEUTRO:”

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a • 1 = a

4” ELEMENTO INVERSO:”

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

5. “DISTRIBUTIVA:”

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a • (b + c) = a • b + a • c

6.” SACAR FACTOR COMÚN:”

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a • b + a • c = a • (b + c)

“División”

La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número.

D : d = c

Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

“TIPOS DE DIVISIONES”

1. División exacta:

Cuando el resto es cero.

D = d • c

2. División entera:

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d • c + r

Propiedades de la división

1. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

2. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : a = 0

3. No se puede dividir por 0.

Potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales.

a • a • a • ... = an

Base

Es el número que multiplicamos por sí mismo.

Exponente

Indica el número de veces que multiplicamos la base.

Propiedades de la potencias

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am • a n = am+n

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am • n

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an • b n = (a • b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : bn = (a : b)n

“Radicación”

Es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso no se pondría. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando:b2 = a.

“CUADRADOS PERFECTOS”

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

“RAÍZ CUADRADA EXACTA”

Radicando = (Raíz exacta)2

“RAÍZ CUADRADA ENTERA”

Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

“Logaritmación”

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Propiedades de los logaritmos

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

“LOGARITMO DE UN PRODUCTO”

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

“LOGARITMO DE UN COCIENTE”

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

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“LOGARITMO DE UNA POTENCIA”

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

“LOGARITMO DE UNA RAÍZ”

El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

“Lógica matemática”

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones ycomputación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente

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“CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA”

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades meta lógicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. Lateoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico real, sino sólo una fuete posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional.

La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechas usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos.

Sistemas lógicos

La lógica matemática se interesa

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