Limites literados

determine si los sguies limites existen o no, en el caso de existir, calcule su valor

1) lim (x,y)-->0 (xy-x+y)/(x+y)'

limites literados

lim (X)--->0 (lim (y)-->0 ((xy-x+y)/(x+y))= lim (x)--->0 -x/x = 1

lim (y)--->0 (lim (x)-->0 ((xy-x+y)/(x+y))= lim(y)--->0 y/y= 1

por lo tanto el limite no existe

cambio de variables

u(t)=(t,mt)

lim t--->0 (tmt-t+mt)/(t+mt)= lim t--->0 t(mt-1+m)/t(1+m)= lim t--->0 -1+m/1+m

como el lim depende de M, no existe

2) lim (x,y) sen(x^2+y^2)^(1/2)/(x^2+y^2)^(1/2)

cambio de variables con x=rcos y y=rsen

pera que te quede en una sola variable

lim r--->0 sen (r^2)^1/2/(r^2)^1/2 = 1

3) lim (x,y)-->(0,0) X^2 sen Y/X

cambio de variables

x=rcos y y=rsen

lim r--->0 r^2 cos^2[sen(rsen/rcos)=o

considere f: R^2--->R definida por

f(x,y)= xy^2/x^2+y^2 , (x,y) diferente de (0,0)

0 , (x,y) = (0,0)

A) estudie la continuidad de la funcion en el punto (0,0)

para ver la continuidad hay que ver si el limite existe

en este caso, uso del cambio de variables

x=rcos y y=rsen

lim r-->0 (R^2cos^2)sen/ r^2cos^2+ r^2 sen^2= lim r--->0 (r^3)(cos)sen^2/r^2(cos^2+sen^2) = O

por lo tanto F es continua en (0,0)

b) calcule las derivadas parciales de la funcino en (0,0)

como es un punto problema hay que usar la definicion de limite

df/dx (0,0) lim h--->0 F(0+h,0)-F(0,0) / h

lim h--->0 (H(0)^2/H^2+0 - O /h = o

es la funcion evaluada en el punto (h,0) solo un cambio de variables

df/dy+ lim h--->0 lim (0,h)- f(o,o)

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