Limites literados

determine si los sguies limites existen o no, en el caso de existir, calcule su valor

1) lim (x,y)-->0 (xy-x+y)/(x+y)'

limites literados

lim (X)--->0 (lim (y)-->0 ((xy-x+y)/(x+y))= lim (x)--->0 -x/x = 1

lim (y)--->0 (lim (x)-->0 ((xy-x+y)/(x+y))= lim(y)--->0 y/y= 1

por lo tanto el limite no existe

cambio de variables

u(t)=(t,mt)

lim t--->0 (tmt-t+mt)/(t+mt)= lim t--->0 t(mt-1+m)/t(1+m)= lim t--->0 -1+m/1+m

como el lim depende de M, no existe

2) lim (x,y) sen(x^2+y^2)^(1/2)/(x^2+y^2)^(1/2)

cambio de variables con x=rcos y y=rsen

pera que te quede en una sola variable

lim r--->0 sen (r^2)^1/2/(r^2)^1/2 = 1

3) lim (x,y)-->(0,0) X^2 sen Y/X

cambio de variables

x=rcos y y=rsen

lim r--->0 r^2 cos^2[sen(rsen/rcos)=o

considere f: R^2--->R definida por

f(x,y)= xy^2/x^2+y^2 , (x,y) diferente de (0,0)

0 , (x,y) = (0,0)

A) estudie la continuidad de la funcion en el punto (0,0)

para ver la continuidad hay que ver si el limite existe

en este caso, uso del cambio de variables

x=rcos y y=rsen

lim r-->0 (R^2cos^2)sen/ r^2cos^2+ r^2 sen^2= lim r--->0 (r^3)(cos)sen^2/r^2(cos^2+sen^2) = O

por lo tanto F es continua en (0,0)

b) calcule las derivadas parciales de la funcino en (0,0)

como es un punto problema hay que usar la definicion de limite

df/dx (0,0) lim h--->0 F(0+h,0)-F(0,0) / h

lim h--->0 (H(0)^2/H^2+0 - O /h = o

es la funcion evaluada en el punto (h,0) solo un cambio de variables

df/dy+ lim h--->0 lim (0,h)- f(o,o) /h= lim h--->0 o(h^2)/0+H^2 - o / h = o

si no existen las derivadas parciales en el punto estudiado, en el mismo punto no existe la diferenciabilidad

c) determine si f(x,y) es diferenciable en el origen

se hace por la formula que es

lim (h,k)----->(0,0) |f(0+h,0,h)-f(0,0)- gradiente(0,0)(H,k)/ ||(h,k)||= 0 ==> es diferenciables

lim (h,K)-->(0,0) | hK^2/h^2+h^2 - 0 - 0|/ (h^2+ K^2)^1/2

lim (h,K)-->(0,0) |hK^2/h^2+h^2/(h^2+ K^2)^1/2

lim (h,K)-->(0,0) hk^2/((h^2+ K^2)^1/2)(h^2+k^2)

lim (h,K)-->(0,0) hk^2/(h^2+k^2)^3/2

cambio de variable

lim r--->0 r3(cos)sen^2/ (r^2)^3/2

lim r--->r r^3 cos sen^2/r^3= lim r--->0 cos(sen^2)= N no existe

tambien pude hacer de esta manera

lim t--->0 t^3m^2/(t^2+m^2T^2)^3/2

lim t--->0 t^3m^2/(t^2(1+m^2)^3/2

lim t-->0 lim m^2/(1+m^2)^3/2

por lo tanto F no es diferenciable por que el lim no depende de T

3) sea f(x,y,z)=ln xy^z, calcule df/dx; df/dy;df/dz

por propiedad del ln

ln(xy^2z) = ln(x)+ln(y^2)+ ln(z)

df/dx= 1/x

df/dy= 2/y

df/dz=1/z

determine el dominio de la siguiente f y estudie si existe las derivadas parciales en (0,0)

f(x,y)= sen x^2+y^2/ x^2+y^2, si (x,y) es diferente a (0,0)

1 , si (x,y) = (0,0)

dominio f r^2-{0,0)

dominio = restricciones

B) derivadas parciales por definicoin

df/dx = lim h-->0 F(0+h,0)-f(0,0)/h

lim h--->0 sen (h^2+0)/h^2-1 /h

lim h--->0 sen(h^2)/h^2-1 /h^2

prodpiedad de los limites que se pueden aplicar

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