Longitud de arco.
Enviado por erick_r91s • 15 de Noviembre de 2015 • Prácticas o problemas • 3.456 Palabras (14 Páginas) • 650 Visitas
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA[pic 2]
FACULTA DE INGENIERÍA
E.A.P. INGENIERÍA CIVIL
[pic 3]
Longitud de arco
Nuevo Chimbote
Noviembre- 2012
INDICE
Contenido Pag.
Longitud de arco en coordenadas rectangulares 2
Ejemplos de longitud de arco en coordenadas rectangulares 3
Longitud de curvas paramétricas 6
Ejemplos de longitud de curvas paramétricas 9
Velocidad de una partícula sobre una curva 10
Longitud de arco en coordenadas polares 13
Ejemplos sobre longitud de arco en coordenadas polares 14
Ejercicios Propuestos 17
Bibliografía 19
Longitud de arco
LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS RECTANGULARES:
Sea una función con derivada continua en . Sea una partición de . Esta partición define una poligonal constituida por los segmentos rectilíneos desde hasta para [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
[pic 11]
Luego la longitud de la poligonal definida por la partición P es:
[pic 12]
Al número , si existe, se le da el nombre de longitud de arco de la gráfica desde el punto (a, f(a)) hasta el punto (b, f(b)). [pic 13][pic 14]
Demostraremos que en este caso, el número L siempre existe.
Como f es derivable y continua en , , por el teorema de Lagrange o del valor medio, , tal que , haciendo , , tenemos:[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
Luego:
[pic 24]
Observación:
La longitud de la curva comprendida entre las rectas , donde g es una función con derivada continua en , esta dada por:[pic 25][pic 26][pic 27]
[pic 28]
Ejemplo 1:
Determine la longitud del arco de la curva descrito por .[pic 29][pic 30]
[pic 31]
Solución:
[pic 32]
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[pic 35]
Ejemplo 2:
Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica comprendida dentro de la parábola [pic 36][pic 37]
[pic 38]
Solución:
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[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Ejemplo 3:
Hallar la longitud total del lazo de la curva si [pic 43][pic 44]
[pic 45]
Solución:
[pic 46]
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[pic 49]
[pic 50]
LONGITUD DE ARCO DE CURVAS PARAMÉTRICAS
Hemos analizado el cálculo de la longitud L de una curva, definida por y=f(x) para . [pic 51]
Ahora queremos calcular la longitud L para una curva C descrita por las ecuaciones paramétricas C: x=f (t), y=g (t) , en donde Esto quiere decir que C se trazara de izquierda a derecha conforme t aumente [pic 52][pic 53]
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[pic 56]
[pic 57][pic 58]
Obtenemos una aproximación poligonal a C tomando una partición P de mediante los puntos donde: [pic 59][pic 60][pic 61]
Sean entonces el punto esta en C y el polígono cuyos vértices son es una aproximación a C. Así una aproximación a la longitud L de C es:[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
La suma de las longitudes de los segmentos de recta que se muestran en la figura.
[pic 70]
La longitud del segmento de recta característico es:[pic 71]
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Aplicamos el teorema del valor medio para derivadas a la función f en el intervalo y damos un número en tal que:[pic 73][pic 74][pic 75]
[pic 76]
Esto es: [pic 77]
De igual forma, aplicado a g. el teorema del valor medio asegura la existencia de un número en , tal que:[pic 78][pic 79]
[pic 80][pic 81]
...